2019年中考数学复习核心母题一最值问题课件.ppt

* 核心母题一　最值问题 【核心母题】 (1)如图1，点A，B在直线l的同侧，确定直线上一点P，使PA＋PB的值最小． (2)如图2，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于点P，则PB＋PE的最小值是 ． (3)如图3，⊙O的半径为2，点A，B，C在⊙O上，OA⊥OB， ∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA＋PC的最小值是 ． (4)如图4，在直角坐标系中，抛物线过点A(0，4)，B(1，0)， C(5，0)，P在抛物线的对称轴上，若使△PAB的周长最小， 则点P的坐标为 ；若使|PA－PC|的值最大，则点P的坐标 为 ． 【重要考点】 两点之间，线段最短、轴对称的性质、正方形的性质、圆、二次函数的图象与性质、三角形相关知识、基本作图等． 【考查方向】 2019年中考的最短路径问题，即“将军饮马”模式，动点问题下的最值问题仍然是常考问题，一般放置在选择题、填空题或解答题最后，以压轴题的形式出现，分值一般为3～12分． 【命题形式】 主要以二次函数、四边形、三角形为背景借助轴对称的性质考查学生的综合能力，在解答时还会涉及分类讨论思想、转化思想的运用． 【母题剖析】 (1)关键是作点A关于直线l的对称点A′. (2)由题意得PB＋PE＝PD＋PE＝DE，在△ADE中，根据勾股定理求解即可； (3)作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于点P，A′C的长即是PA＋PC的最小值． (4)先求出抛物线的解析式及对称轴，要使△PAB的周长最 小，即PA＋PB＋AB最小，因此可以利用轴对称的性质，将问 题转化，点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6，4)，连接 BA′，交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，可 求出直线BA′的解析式．即可得出点P的坐标．根据抛物线 的对称性及垂直平分线的性质有PB＝PC，即将求|PA－PC|的 最大值，转化为求|PA－PB|的最大值，即可得解． 【母题详解】 突破关键词：轴对称，轴对称图形、线段和(差)最小(最 大)、周长最小、面积最大、勾股定理 (1)如图，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于 点P，则PA＋PB＝A′B的值最小． (2) 提示：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC垂直平分BD， ∴PB＝PD，由题意易得PB＋PE＝PD＋PE＝DE. 在△ADE中，根据勾股定理得DE＝ 即PB＋PE的最小值是 . (3)2 提示：如图，作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于点P，则PA＋PC的最小值即为A′C的长． ∵∠AOC＝60°，∴∠A′OC＝120°. 作OD⊥A′C于点D，则∠A′OD＝60°. ∵OA′＝OA＝2，∴A′D＝ ， ∴A′C＝2 ，即PA＋PC的最小值是2 . (4)(3， )　(3，－8) 提示：根据已知条件可设抛物线的解析式为 y＝a(x－1)(x－5)，把点A(0，4)代入得a＝ ， ∴y＝ (x－1)(x－5)＝ x2－ x＋4＝ (x－3)2－ ， ∴抛物线的对称轴是直线x＝3. ∵点A(0，4)，抛物线的对称轴是直线x＝3， ∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6，4)． 如图，连接BA′，交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小． 设直线BA′的解析式为y＝kx＋b， ∴使△PAB的周长最小的点P的坐标为(3， )． 由抛物线的对称性可知，点B，点C关于对称轴对称， ∴对称轴上任意一点P，均有PB＝PC，|PA－PC|＝|PA－PB|. 当点P，A，B不共线时，可构成△PAB，此时|PA－PB|<AB， ∴当点P，A，B共线时，则|PA－PB|取得 最大值，如图所示，此时|PA－PB|＝AB. 设直线AB的解析式为y＝kx＋b， 将A(0，4)，B(1，0)代入得 解得 ∴y＝－4x＋4. ∵P点在抛物线对称轴上，横坐标为x＝3， 代入y＝－4x＋4中得y＝－4×3＋4＝－8， ∴使|PA－PC|取得最大值的点P的坐标为(3，－8)． 【思想方法】 (1)最值(或最短路径)问题的背景来源主要有：角、等腰 (边)三角形、菱形、正方形以及圆等．从内容上看，还会 引申到“两线段差最大”问题、三角形(四边形)的周长最 小问题、面积最大等．除此之外，解决最值问题常常借助 极端点． (2)一般地，解决线段和差最值问题的目标是“化曲为直”， 手段通常是遇“和”转化为异侧，遇“差”转化为“同侧”， 根据是轴对称和全等三角形，常用方法是利用轴对称图形中 的“已知”的对称点．涉及的知识点有“两点之间线段最短” “垂线段最短”“三角形三边关系”“轴对称”“平移”