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02-第二章-极限与连续-习题详解
第二章 极限与连续
习 题 2.1
1．观察下列数列的变化趋势，判别哪些数列有极限，如果有极限，写出它们的极限．
1 ⎧ π⎫
⎧ ⎫
(1) { } ； (2) x cos ；
x ⎨ ⎬ { } ⎨ ⎬
n 2n n ⎩ n ⎭
⎩ ⎭
1 n −1
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
(3) x n =− ； (4) x ；
{ } ⎨ ⎬ { } ⎨ ⎬
n n
⎩ n ⎭ n +1
⎩ ⎭
⎧2n −1⎫
(5) n
x (=−1) n ； (6) { } ．
{ } { } x ⎨ ⎬
n n ⎩ 3n ⎭
解 (1) 当n →∞时，极限为 0 ；
(2) 当n →∞时，极限为 1；
(3) 当n →∞时，极限不存在；
(4) 当n →∞时，极限为 1；
(5) 当n →∞时，极限不存在；
(6) 当n →∞时，极限为 0 ．
n
⎧ ⎫
2 ．对于数列 x ，给定(1) ε 0.1 ；(2) ε 0.01 ；(3) ε 0.001 时，分别
{ n } ⎨ ⎬
n +1
⎩ ⎭
取怎样的N ，才能使当n N 时，不等式 x −1 ε成立，并利用极限定义证明此数列的
n
极限为 1．
n 1 1
解 (1) 要使 x −1 −1 ε 0.1，只要n +1 10 ，n 9 ，故取
n n +1 n +1 0.1
N 9 即可．
n 1 1
(2) 要使 xn −1 −1 ε 0.01 ，只要n +1 100 ，n 99 ，故取
n +1 n +1 0.01
N 99 即可．
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