不等式及恒成立经典例题.docVIP

不等式及恒成立经典例题 例1? 已知f(x)=x2+2(a-2)x+4. (1)如果对一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围. (2)如果对x∈〔-3，1〕，f(x)＞0成立，求实数a的取值范围. 解：f(x)的图像开口向上. (1)对一切实数x，f(x)＞0，则△＜0，即(a-2)2-4＜0， ∴0＜a＜4； (2)当x∈〔-3，1〕时，f(x)＞0，对称轴2-a可在区间内，也可在区间外， ∴ 或 或 解得- ＜a＜4 例2? ??设A=｛x｜-2＜x＜-1,或x＞1｝，B=｛x｜x2+ax+b≤0｝，已知A∪B=｛x｜x＞-2｝，A∩B=｛x｜1＜x≤3｝，试求a,b的值. 分析? 在本题求解时要正确利用图形进行分析. 解：如图所示，设B=｛x｜α≤x≤β｝ 设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B“覆盖”住集合｛x｜-1≤x≤3｝，才能使A∩B=｛x｜1＜x≤3｝ ∴“α≤-1且β≥1”， 并且α≥-1及β=3.∴α=-1,β=3. 因此B=｛x｜-1≤x≤3｝，根据二次不等式与二次方程的关系，可知-1与3是方程x2+ax+b=0的两根. ∴a=-(-1+3)=-2,b=(-1)×3=-3. 解恒成立问题常用方法 1 分离参数法 例3：设，其中a是实数，n是任意给定的自然数且n≥2，若当 时有意义, 求a的取值范围。 解： 由时，有意义得： ，由指数函数单调性知上式右边的函数的最大值是＝ 故 a 例 2： 已知定义在R上函数f(x)为奇函数，且在上是增函数，对于任意求实数m范围，使 恒成立。 解： ∵ f(x)在R上为奇函数，且在上是增函数， ∴ f(x)在上为增函数 又 ∵ ∴ ＞－＝ ∴ 即 ∵ 2－， ∴ 2 ∴ m 令2－ ∴ m4－ 即4－m在上恒成立 即求在上的最小值 ∵ ≥2等号成立条件t=,即成立 ∴ ∴ 4－m即m4－ ∴ m的取值范围为（4－，＋∞） 例 3： 设0a,若满足不等式的 一切实数x，亦满足不等式 求正实数b的取值范围。 简析略解：此例看不出明显的恒成立问题，我们可以设法转化: 设集合A＝， B= 由题设知AB，则： () 于是得不等式组： () 又 ，最小值为； 最小值为； ∴ , 即 ：b的取值范围是 2 主参换位法 例4：若对于任意a，函数的 值恒大于0，求x的取值范围。 解： 设 ，把它看成关于a的直线， 由题意知，直线恒在横轴下方。 所以 解得： 或或 例 5： 对于（0，3）上的一切实数x,不等式恒成立，求实数m的取值范围。 解： 若设，把它看成是关于x的直线，由题意知直线恒在x的轴的下方。所以 解得：