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同济大学高等数学第七版1-3函数极限课件.ppt
* * * * * * 返回 * 通过上面演示实验的观察: 如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限接近”. * .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 第三节 函数的极限 * 自变量变化过程的六种形式: 根据自变量的这种变化过程,本节主要研究以下两种情况: 二、当自变量x的绝对值无限增大时,f(x)的变化趋势, 一、当自变量x无限地接近于x0时,f(x)的变化趋势 * 一、自变量趋向有限值时函数的极限 这个函数虽在x=1处无定义,但从它的图形上可见,当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时, f(x)的值无限地接近于4,我们称常数4为f(x)当x→1 时 f(x) 的极限。 1 x y o 4 * 怎样用数学语言刻划 无限接近 于确定值A? * 1.定义 定义1 设函数 有定义. 记作 或 恒有 在点x0某去心邻域内 * 注: (1) 定义习惯上称为极限的ε—δ定义其三个要素: ①正数ε, ②正数δ, ③不等式 (3) δ与任意给定的正数ε有关。 (2) 有没有极限,与 在点 是否有定义无关 * 必存在x0的去心邻域 对于此邻域内的 x, 对应的函数图形位于这一带形区域内. 作出带形区域 * 一般说来, 应从不等式 出发, 推导出 应小于怎 这个正数就是要找的与 相对应的 这个推导常常是困难的. 但是, 注意到我们不需要找最大的 所以 适当放大些, 的式子, 变成易于解出 找到一个需要的 找到 就证明完毕. 可把 样的正数, * 证 这是证明吗? 非常非常严格! 例1 * 例2 证明 证 于是 恒有 * 例3 分析: 函数在点x=1处没有定义.但这与函数在该点是否有极限并无关系. 证 * 例4 证 min 可用 保证 * 证明 证 由于 要使 解出 只要 可取 有 解不等式, * 3. 左、右极限(单侧极限) 例如, 两种情况分别讨论! 记作 记作 * 左极限 右极限 使得 时, 或 使得 时, 或 记作 记作 * 注 且 此性质常用于判断分段函数当x趋近于 分段点 时的极限. * (1) 左、右极限均存在, 且相等; (2) 左、右极限均存在, 但不相等; (3) 左、右极限中至少有一个不存在. 找找例题! 函数在点 x0 处的左、右极限可能出现 以下三种情况之一: * 讨论 时 的极限是否存在 . 解: 利用定理 3 . 因为 显然 所以 不存在 . * y = f (x) x O y 1 1 在 x = 1 处的左、右极限. 解 * 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 * .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
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