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高中数学典型题解析导数及其应用
高中数学典型例题分析
第十章 导数及其应用
§10.1导数及其运算
一、知识导学
1.瞬时变化率:设函数在附近有定义,当自变量在附近改变量为时,函数值相应地改变,如果当趋近于0时,平均变化率趋近于一个常数c(也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小,可以小于任意小的正数),那么常数c称为函数在点的瞬时变化率。
2.导数:当趋近于零时,趋近于常数c。可用符号“”记作:当时,或记作,符号“”读作“趋近于”。函数在的瞬时变化率,通常称作在处的导数,并记作。
3.导函数:如果在开区间内每一点都是可导的,则称在区间可导。这样,对开区间内每个值,都对应一个确定的导数。于是,在区间内,构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数的导函数。记为或(或)。
4.导数的四则运算法则:1)函数和(或差)的求导法则:设,是可导的,则即,两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)。
2)函数积的求导法则:设,是可导的,则即,两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数。
3)函数的商的求导法则:设,是可导的,,则
5.复合函数的导数:设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则复合函数在点处有导数,且.
6.几种常见函数的导数:
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
二、疑难知识导析
1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率
2.运用复合函数的求导法则,应注意以下几点
(1)利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.
(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导,不能混淆,一直计算到最后,常出现如下错误,如实际上应是。
(3) 求复合函数的导数,关键在于分清楚函数的复合关系,选好中间变量,如选成,计算起来就复杂了。
3.导数的几何意义与物理意义
导数的几何意义,通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义,通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解,有助于对抽象的导数定义的认识,应给予足够的重视。
4.
表示处的导数,即是函数在某一点的导数;表示函数在某给定区间内的导函数,此时是在上的函数,即是在内任一点的导数。
5.导数与连续的关系
若函数在处可导,则此函数在点处连续,但逆命题不成立,即函数
在点处连续,未必在点可导,也就是说,连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是充分条件。
6.可以利用导数求曲线的切线方程
由于函数在处的导数,表示曲线在点处切线的斜率,因
此,曲线在点处的切线方程可如下求得:
(1)求出函数在点处的导数,即曲线在点处切线的斜率。
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为:,如果曲线在点的切线平行于轴(此时导数不存在)时,由切线定义可知,切线方程为.
三、经典例题导讲
[例1]已知,则 .
[例2]已知函数判断f(x)在x=1处是否可导?
分析: 分段函数在“分界点”处的导数,须根据定义来判断是否可导 . 左右极限是否存在且相等。
点评:函数在某一点的导数,是一个极限值,即,△x→0,包括△x→0+,与△x→0-,因此,在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时,要验证其左、右极限是否存在且相等,如果都存在且相等,才能判定这点存在导数,否则不存在导数.
[例3]求在点和处的切线方程。
分析:点在函数的曲线上,因此过点的切线的斜率就是在处的函数值;
点不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线.
点评: 要注意所给的点是否是切点.若是,可以直接采用求导数的方法求;不是则需设出切点坐标.
[例4]求证:函数图象上的各点处切线的斜率小于1,并求出其斜率为0的切线方程.
分析: 由导数的几何意义知,要证函数的图象上各点处切线的斜率都小于1,只要证它的导函数的函数值都小于1,因此,应先对函数求导后,再进行论证与求解.
[例5](02年高考试题)已知,函数,,设,记曲线在点处的切线为 .
(1)求 的方程;
(2)设 与 轴交点为,求证:
① ; ②若,则
分析:本题考查导数的几何意义,利用其求出切线斜率,导出切线方程 .
[例6]求抛物线 上的点到直线的最短距离.
分析:可设 为抛物线上任意一点,则可把点到直线的距离表示为自变量的函数,然后求函数最小值即可,另外,也可把直线向靠近抛物线方向平移,当直线与抛物线相切时的切点到直线的距离即为本题所求.
四、典型习题导练
1.函数在处不可导,则过点处,曲线的切线 ( D )
A.必不存在 B.必
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