数学模型课后-答案.doc

—— — 《数学模型》作业答案 第二章(1)（2012年12月21日） 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q值方法； （3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表： 1 2 3 4 5 A B C 235 117.5 78.3 58.75 … 333 166.5 111 83.25 … 432 216 144 108 86.4 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， 方法一（按比例分配） 分配结果为： 方法二（Q值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 第10个席位：计算Q值为 最大，第10个席位应给C.分配结果为 方法三（d’Hondt方法） 此方法的分配结果为： 此方法的道理是：记和为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.是每席位代表的人数，取从而得到的中选较大者，可使对所有的尽量接近. 再考虑的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 宿舍 （1） （2） （3） （1） （2） （3） A B C 3 2 2 3 3 3 4 5 5 4 4 3 5 5 5 6 6 7 总计 10 10 10 15 15 15 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑到时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得两边积分，得 《数学模型》作业解答 第三章1（2008年10月14日） 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少． 解：设购买单位重量货物的费用为,其它假设及符号约定同课本． 对于不允许缺货模型，每天平均费用为： 　　　　 　　　　 　　　　令 ， 　解得　　　 　　　　由 ，　得 与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变． 对于允许缺货模型，每天平均费用为： 　　　 　　　 　　　 　　　令　，　得到驻点： 　　　　 与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少． 2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数，销售速率为常数，．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来的一段时间只销售不生产，画出贮存量的图形.设每次生产准备费为，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论和的情况. 解：由题意可得贮存量的图形如下： O O 贮存费为 又 , 贮存费变为 于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为 . , 得 易得函数取得最小值，即最优周期为： . 相当于不考虑生产的情况. . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量. 第三章2（2008年10月16日） 3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型. 解：考虑灭火速度与火势有关，可知火势越大，灭火速度将减小，我们作如下假设: ， 分母而加的. 总费用函数 最优解为 5．在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本随时间增长，设，.又设单位时间的销售量为.今将销售期分为两段，每段的价格固定，记作.求的最