浙江省各年高考卷中圆锥曲线大题.docx

圆锥曲线大题 1、如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． （Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； （Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x0)上的动点，求△PAB面积的取值范围． 5.答案：（1）略；（2）. 解答：（1）设，，， 则中点为，由中点在抛物线上，可得， 化简得，显然， 且对也有， 所以是二次方程的两不等实根， 所以，，即垂直于轴. （2）， 由（1）可得，， ， 此时在半椭圆上， ∴， ∵，∴， ∴， ， 所以， ，所以， 即的面积的取值范围是. 2、如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． （Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求的最大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 解得点Q的横坐标是，因为|PA|== |PQ|= ，所以|PA||PQ|= 令，因为，所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值． 3、如图，设椭圆（a＞1）. （I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）； （II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围. 【答案】（I）；（II）． （II）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足 ． 记直线，的斜率分别为，，且，，． 由（I）知， ，， 故 ， 所以． 由于，，得 ， 因此 ， ① 因为①式关于，的方程有解的充要条件是 ， 所以 ． 因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为 ， 由得，所求离心率的取值范围为． 已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称． （1）求实数的取值范围； （2）求面积的最大值（为坐标原点）． 5、如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限. 已知直线的斜率为，用表示点的坐标； 若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为. 71. （I）设直的方程为，由，消去得，，由于直线与椭圆只有一个公共点，故，即，解得点的坐标为，由点在第一象限，故点的坐标为； （II）由于直线过原点，且与垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离，整理得，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以点到直线的距离的最大值为. 6、如图，点P(0，?1)是椭圆C1： eq \f(x2,a2)+\f(y2,b2)=1(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D． xOyB x O y B l1 l2 P D A （第21题图） （Ⅱ）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程． 【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力 【答案解析】 （Ⅰ）由题意得 eq \b\lc\{(\a(b=1，,a=2．)) 所以椭圆C的方程为 eq \f(x2,4)+y2=1． （Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y=kx?1． 又圆C2：x2+y2=4，故点O到直线l1的距离d= eq \f(1,\r(k2+1)) ， 所以|AB|=2 eq \r(4?d2)=2 eq \r(\f(4k2+3,k2+1)) ． 又l1?l2，故直线l2的方程为x+ky+k=0． 由 eq \b\lc\{(\a(x+ky+k=0，, eq \f(x2,4)+y2=1．)) 　 消去y，整理得(4+k2)x2+8kx=0 故x0=? eq \f(8k, 4+k2)． 所以|PD|= eq \f(8\r(k2+1),4+k2)． 设△ABD的面积为S，则S= eq \f(1,2)|AB|?|PD|= eq \f(8\r(4k2+3),4+k2)， 所以S= eq \f(32,\r(4k2+3)+\f(13,\r(4k2+3)))? eq \f(32,2\r(\r(4k2+3) ? \f(13,\r(4k2+3))))= eq \f(16\r(13),13)， 当且仅当k=± eq \f(\r(10),2)时取等号 所以所求直线l1的方程为y=± eq \f(\r(10),2)x?1 7、如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分． (Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程． 【解析】 (Ⅰ)由题：； (1) 左焦点