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1.4.2(1)正弦、余弦函数的性质(教学设计)
教学目的:
知识目标:要求学生能理解周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义;
能力目标:掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周期。
德育目标:让学生自己根据函数图像而导出周期性,领会从特殊推广到一般的数学思想,体会三角函数图像所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。
教学重点:正、余弦函数的周期性
教学难点:正、余弦函数周期性的理解与应用
授课类型:新授课
教学模式:启发、诱导发现教学.
教学过程:
一、创设情境,导入新课:
现实生活中的“周而复始”现象:
(1)今天是星期二,则过了七天是星期几?过了十四天呢?……
(2)现在下午2点30,那么每过24小时候是几点?
(3)路口的红绿灯(贯穿法律意识)
2.数学中是否存在“周而复始”现象,观察正(余)弦函数的图象总结规律
–
–
–
正弦函数性质如下:
(观察图象) 1?正弦函数的图象是有规律不断重复出现的;
2?规律是:每隔2?重复出现一次(或者说每隔2k?,k?Z重复出现)
3?这个规律由诱导公式sin(2k?+x)=sinx可以说明
结论:象这样一种函数叫做周期函数。
文字语言:正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得;
符号语言:当增加()时,总有.
也即:(1)当自变量增加时,正弦函数的值又重复出现;
(2)对于定义域内的任意,恒成立。
余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。
二、师生互动,新课讲解:
1.周期函数定义:对于函数f (x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有:f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。
问题:
(1)正弦函数,是不是周期函数,如果是,周期是多少?(,且)余弦函数呢?
(2)观察等式 是否成立?如果成立,能不能说 是y=sinx的周期?
(3)若函数的周期为,则,也是的周期吗?为什么?
(是,其原因为:)
2.最小正周期:T往往是多值的(如y=sinx 2?,4?,…,-2?,-4?,…都是周期)周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)
y=sinx, y=cosx的最小正周期为2? (一般称为周期)
从图象上可以看出,;,的最小正周期为;
3、例题讲解
例1(课本P35例2) 求下列三角函数的周期:
① ②(3),.
解:(1)∵,
∴自变量只要并且至少要增加到,函数,的值才能重复出现,
所以,函数,的周期是.
(2)∵,
∴自变量只要并且至少要增加到,函数,的值才能重复出现,
所以,函数,的周期是.
(3)∵,
∴自变量只要并且至少要增加到,函数,的值才能重复出现,
所以,函数,的周期是.
变式训练1:求下列三角函数的周期:
y=sin3x (2)y=cos (3)y=3sin
(4) y=sin(x+) (5) y=cos(2x+)
解:1? sin(3x+2?)=sin3x 又sin(3x+2?)=sin3(x+)
即:f (x+)=f (x) ∴周期T=
2? cos=cos()=cos
即:f (x+6?)=f (x) ∴T=6?
3? 3sin=3sin(+2?)=3sin()=f (x+8?)
即:f(x+8)=f(x) ∴T=8?
4? sin(x+)=sin(x++2?) 即f(x)=f(x+2?)
∴T=2?
5? cos(2x+)=cos[(2x+)+2?]=cos[2(x+?)+]
即:f(x+?)=f(x) ∴T=?
由以上练习,请同学们自主探究T与x的系数之间的关系。
小结:形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A?0, x?R) 周期
y=Acos(ωx+φ)也可同法求之
一般结论:函数及函数,的周期
课堂巩固练习2 快速求出下列三角函数的周期
(1)y=sin (2) y=cos4x+1 (3) y= (4)y=sin()
(5)y=3cos(-)-1
三、课堂小结
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