可测函数定义及简单性质1.docx

补充:特征函数 定义1 设X是非空全集 ， , 称 为集合A的特征函数. 显然的充分必要条件是A=B . 例如：取，，则特征函数如图 图1-13-1 特征函数 定理1 （1）； （2） ； （3）.特别 时 ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） 设 是任一集列，则 ； （8） 存在， 且当极限存在时， . 证明 仅证（3），（7）. ； （3） 任意，.当时， ； 当 时， ； 同理； 当 时，有 . （7） 设 是任一集列，则 ； （7） 先证 任意，存在使，故 ，从而.又由特征函数定义知，所以； 当 ，存在自然数N，，故 , ，而，所以也有，故 . 再证 任意时，存在自然数N，，故 ,从而，而，所以； 当时，.由下限集的定义知,存在无穷多个,使于是,从而,所以,因此 . 第三章 可测函数 为了建立新的积分即Lebesgue积分，我们需要介绍一类比连续函数更为广泛的重要函数——可测函数，这类函数与连续函数有着密切的联系. 首先我们拓广函数的概念，以下我们提到的函数都是指定义在中某点集上的实值函数，且允许它取值±∞.另外，我们规定： (+∞)+（+∞）=+∞，（-∞）+（-∞）=-∞， 对于任意实数a，总有a+(+∞)=(+∞)+a=+∞，a+(-∞)=-∞， 对于b0，c0，b·(±∞)=±∞，c·(±∞)= ∞，(±∞)·（±∞）=+∞， （+∞）·（-∞）=（-∞）·（+∞）=-∞，0·（±∞）=（±∞）·0=0， 对，，对，， 但（+∞）-（+∞），（±∞）+（∞），（-∞）-（-∞）均无意义. §1 可测函数的定义及简单性质 可测函数的定义方法很多，本节我们将采用从简单到复杂的方法定义可测函数，即先给出简单函数，再用简单函数的极限定义非负可测函数,然后通过分析非负可测函数的特性给出一般可测函数的定义. 一、可测函数的定义及等价定义 1．简单函数 定义1 设为一个可测集，为定义在上的实函数，如果 （1）=，其中为两两不交的可测集， （2）在每个上=，即= ，亦即， 其中表示的特征函数，则称为上的简单函数. 图3-1-1 简单函数 显然= 及 = 　 均为其定义域上的简单函数. 图3-1-2 符号函数 可以证明，可测集上的两个简单函数的和、差及乘积仍为上的简单函数；当时，也是上的简单函数. 另外，若是G上的函数，是可测集上的简单函数，且 ，则仍为上的简单函数. 例1 证明可测集上的两个简单函数的和仍为上的简单函数 证明 设是上的简单函数，下证也是上的简单函数.事实上， 设 ， 那么，其中 则是个互不相交的可测集，且 所以是上的简单函数. 定义2 设为上的非负实函数, 集合{}称为在上的下方图形, 记为 ,当时,简记为. 图3-1-3 下方图形 例2 如果是中可测子集的示性函数： 则，这都是中的可测集. 例3 设为可测集上的非负简单函数,即,其中, 为两两不交的可测集, 则为可测集, 且. 证明 不难证明 ,其中也互不相交. 而 为中的可测集, 且 , 所以 .