《51孤立奇点》-精选·课件设计.ppt

(1) 为 的 m 阶零点。 (3) 在 内的泰勒展开式为 定理 设函数 在 处解析，则下列条件是等价的： (2) 其中， 附：关于函数零点的充要条件的证明 P107 修改 * 第五章 留数及其应用 * §5.1 孤立奇点 第五章 留数及其应用 第五章 留数及其应用 §5.2 留数 §5.1 孤立奇点 §5.3 留数在定积分计算中的应用 §5.1 孤立奇点 一、引言 二、零点 三、孤立奇点 四、孤立奇点的分类 五、如何进行孤立奇点的分类 六、如何判断极点的阶数 一、引言 本章重点解决闭路积分问题。 D r C 如图，考虑积分 (1) 若 在 G 上连续，在 D 上解析， 则 (2) 若 在 D 上有唯一的奇点 则 此时，将函数 在 点的邻域内进行洛朗展开， 由 则积分 “不难? ” 得到。 G 则称 为 的零点； (1) 若 所谓函数 的零点就是方程 的根。 定义 设函数 在 处解析， (2) 若 在 处解析且 则称 为 的 m 阶零点。 对于不恒为零的解析函数，其零点是孤立的。 结论 即在零点的一个小邻域内，函数无其它零点。 二、零点 P106 定义 5.2 P107 (进入证明?) 二、零点 定理 设函数 在 处解析，则下列条件是等价的： (1) 为 的 m 阶零点。 (2) 其中， (3) 在 内的泰勒展开式为 充要条件 (如何判断零点的阶数? ) P107 定理 5.4 (进入证明?) 其中， 二、零点 充要条件 (如何判断零点的阶数? ) 定理 设函数 在 处解析，则下列条件是等价的： (1) 为 的 m 阶零点。 (2) (3) 在 内的泰勒展开式为 收敛且解析 例 故 为 的一阶零点。 例 故 为 的三阶零点。 是 的三阶零点。 是 的三阶零点。 方法一 方法二 是 的二阶零点。 是 的二阶零点。 三、孤立奇点 邻域 内解析， 则称 为 孤立奇点。 使得 在去心 且存在 定义 设 为 的奇点， 例 为孤立奇点。 例 原点及负实轴上的点均为奇点， 但不是孤立奇点。 P102 定义 5.1 例 (1) 令 为孤立奇点； (2) 也是奇点， 但不是孤立奇点。 邻域 内解析， 则称 为 孤立奇点。 使得 在去心 定义 设 为 的奇点， 且存在 三、孤立奇点 P102 例5.3 四、孤立奇点的分类 根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 将 在 内 定义 设 为 的孤立奇点， 展开为洛朗级数： (1) 若 有 则称 为 的可去奇点。 ( 即不含负幂次项 ) P1