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《复变函数与积分变换》(西安交大-第四版)课后习题答案
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习题一解答
求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。
(1) 1 ; (2)1 ? 3i ; (3) ?3 ? 4i??2 ? 5i? ; (4)i8 ? 4i 21 ? i
3 ? 2i
解 (1) 1 ?
i
3 ? 2i
1 ? i
?
2i
1 ?3 ? 2i?
3 ? 2i
所以
?3 ? 2i??3 ? 2i? 13
Re? 1 ? ? ? , Im? 1 ? ? ? 2 ,
?3 ? 2 i ? ?? ?3 ? 2i ? 13
1
3 ? 2i
? ?
13 ? 2i? 1 ?3 ? 2i? , ?
1
3 ? 2i
13
? 1 ?
? ?
? 3 ?
? 3 ? 2 ? 3 ? 2
? ? ? ?? ?
? 13 ?
? 13 ?
13
13
? 1 ?
Arg?
? ? arg?
? ? 2kπ
? 3 ? 2 i ?
? 3 ? 2 i ?
? ? arctan 2 ? 2k? , k ? 0,?1,?2,…
3
(2) 1 ? 3i ? ? i ? 3i?1 ? i? ? ?i ? 1 ?? 3 ? 3i? ? 3 ? 5 i,
i 1 ? i
所以
i?? i?
?1 ? i?(1 ? i)
i?Re?1 ?
i
?
2 2 2
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?
? 1 ? i ? 2
Im?1 ?
3i ? ? ? 5
??? 1 3i ?
?
?
? ?
3 ? i 5
?
i?
i
, 1 ?
1 ? i ? 2
3i1? i? 3
3i
1? i
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? ? ? ?? ?
? 2 ? ?
2 ?
34
?? i 1 ? i ? 2 2 i 2
?
? 1 3i ? ? 1 3i ?
Arg? ? ? ? arg? ? ? ? 2kπ
? i 1 ? i ? ? i 1 ? i ?
? ? arctan 5 ? 2kπ?
3
k ? 0??1??2?… .
(3) ?3 ? 4i??2 ? 5i? ? ?3 ? 4i??2 ? 5i??? 2i? ? ?26 ? 7i??? 2i?
2i ?2i??? 2i??4
? ?7 ? 26i ? ? 7 ? 13i
2 2
所以
Re??3 ? 4i??2 ? 5i?? ? ? 7 ,
?2?? 2i ?
?
2
?
Im? ?3 ? 4i??2 ? 5i?? ? ?13 ,
??? 2i ?
?
?
? ?3 ? 4i??2 ? 5i?? ? ? 7 ? l3i
?2?? 2i ?
?
2
?
?3 ? 4i??2 ? 5i? ? 5 29 ,
2i 2
Arg? ?3 ? 4 i??2 ? 5 i?? ? arg??3 ? 4 i??2 ? 5i?? ? 2kπ ? 2 arctan 26 ? π ? 2kπ
?? 2 i
?? ?? 2 i ???7
? arctan 26 ? ?2k ?1?? ,
7
k ? 0,?1,?2,… .
(4) i8 ? 4i21 ? i ? ?i2 ?4 ? 4?i2 ?10 i ? i ? ?? 1?4 ? 4??1?10 i ? i
? 1 ? 4i ? i ? 1 ? 3i
所以
Re?i8 ? 4i21 ? i?? 1, Im?i8 ? 4i21 ? i?? ?3
??i8 ? 4i21 ? i?? ? 1 ? 3i ,| i8 ? 4i21 ? i |? 10
? ?
Arg?i8 ? 4i21 ? i?? arg?i8 ? 4i21 ? i?? 2kπ ? arg?1 ? 3i?? 2kπ
= ?arctan3 ? 2kπ k ? 0,?1,?2,….
如果等式 x ? 1 ? i?y ? 3? ? 1 ? i 成立,试求实数 x, y 为何值。
5 ? 3i
解:由于
x ? 1 ? i?y ? 3? ? ?x ? 1 ? i?y ? 3???5 ? 3i?
5 ? 3i
?5 ? 3i??5 ? 3i?
? 5?x ? 1?? 3?y ? 3?? i?? 3?x ? 1?? 5?y ? 3??
34
比较等式两端的实、虚部,得
? 1 ?5x ? 3y ? 4?? i?? 3x ? 5y ?18? ? 1 ? i 34
?? 5x ? 3y ? 4 ? 34
?
或? 5x ? 3y ? 38
?解得 x ? 1, y ? 11 。
?
?? 3x ? 5 y ? 18 ? 34
?? 3x ? 5 y ? 52
证明虚单位i 有这样的性质:-i=i-1= i 。
证明
1) | z |2 ? zz
#
6) Re(z) ? 1 (z ? z), Im
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