蹦极问题的数学模型与仿真.docx

PAGE 1 PAGE 1 蹦极问题的数学模型和仿真 摘要 蹦极(Bungee Jumping)，也叫机索跳，白话叫笨猪跳，是近些年来新兴的一项非常刺激的户外休闲活动。跳跃者站在约40米以上（相当于10层楼）高度的桥梁、塔顶、高楼、吊车甚至热气球上，把一端固定的一根长长的橡皮条绑在踝关节处然后两臂伸开，双腿并拢，头朝下跳下去。绑在跳跃者踝部的橡皮条很长，足以使跳跃者在空中享受几秒钟的“自由落体”。当人体落到离地面一定距离时，橡皮绳被拉开、绷紧、阻止人体继续下落，当到达最低点时橡皮再次弹起，人被拉起，随后，又落下，这样反复多次直到橡皮绳的弹性消失为止，这就是蹦极的全过程。 蹦极问题主要涉及参与者的运动状态分析以及整个蹦极系统的安全考虑。本文通过牛顿第二定律构建参与者的运动状态方程，然后在Simulink中搭建蹦极模型并仿真，仿真结果验证了数学模型的正确性。 根据这个模型，可以深入理解蹦极运动的一般规律，加深对蹦极系统安全性的领悟，并且可以将这种规律运用在生活的其他方面。 关键词 数学建模 Simulink 蹦极 前言 蹦极运动作为一种刺激的极限运动，通过蹦极可以体验到前所未有的自由、震撼，这也是蹦极一直吸引着大批参与者的原因。由于这项运动的特殊性，相比于其他运动项目(比如过山车、摩天轮、漂流等)，蹦极的危险系数也更大，每年发生的事故也经常见诸各种新闻媒体。 蹦极运动中，参与者的运动轨迹比较复杂，整体表现为振幅不断减小的往复运动，最后达到稳定位置，在稳定位置参与者重力等于弹力绳的拉力。 为了研究的方便，假设弹力绳一直处于线性拉伸区，也就是服从胡克定律。由于参与者在蹦极时主要是头朝下，肢体运动相对于参与者的整体运动可以忽略，可以把运动中当成一个质点考虑。 Simulink是MATLAB中的一种可视化仿真工具， 是一种基于MATLAB的框图设计环境，是实现动态系统建模、仿真和分析的一个软件包，被广泛应用于线性系统、非线性系统、数字控制及数字信号处理的建模和仿真中。Simulink可以用连续采样时间、离散采样时间或两种混合的采样时间进行建模，它也支持多速率系统，也就是系统中的不同部分具有不同的采样速率。为了创建动态系统模型，Simulink提供了一个建立模型方块图的图形用户接口(GUI) ，这个创建过程只需单击和拖动鼠标操作就能完成，它提供了一种更快捷、直接明了的方式，而且用户可以立即看到系统的仿真结果。本文用来验证数学模型的正确性。 分析及推导 蹦极运动学分析 参与者从起跳台出发，离开起跳台后参与基本处于头朝下的状态，然后经过一段时间的往复运动最后达到稳定高度附近，结束蹦极，如图1所示。由于蹦极环境的不同，有的在岸边的悬崖，有的在陆地上，如果在水边，最后参与者在弹力绳自然伸长位置（中间层）附近被拉起，如果在陆地就在地面被拉起。 我们假设参与者的起跳位置在，也就是起跳台的位置，以中间层的位置高度为0。如果弹力绳弹力太大，参与者可能降落的最低位置可能达到地面，如果，到达地面的速度的比较快，这会有安全隐患。假设中间层到地面的高度为h。 在参与者蹦极的过程中，主要受到重力、弹力绳的拉力，空气阻力。其中弹力绳处于松弛状态时没有拉力，弹力绳处于拉伸状态时拉力与拉伸长度成正比。空气阻力主要与速度有关。 图1 蹦极运动示意图 假设参与者的位置是x，中间层向下为正。于是参与者初始位置是，地面位置是-h。由于弹力绳没有突破弹力极限，弹力绳一直服从胡可定律。 （1） 其中表示弹力绳弹力。k表示弹力绳的弹性系数，弹性系数越大，参与在在同样的拉伸长度下受到的拉力越大。 假设参与者质量是m，当地的重力加速度是g，则参与者受到的重力是 （2） 参与受到的空气阻力主要与参与者速度有关，通过查阅相关资料，了解到空气阻力近似满足下面关系式 （3） 其中，表示空气摩擦系数，可以看出摩擦系数越大，速度越大，则空气阻力越大。 假设参与者的加速是a，根据牛顿第二定律，可以得到如下关系式 （4） 假设参与者初始速度是，则参与的速度和位置满足如下关系 （5） 综合公式（1）~（4）得 参与在降落的过程中，由于空气阻力的影响，整体的机械能逐渐减小。参与者降落的过程中，参与者的重力势能转换成弹力绳的弹性势能和与空气摩擦的内能。参与者上升的过程中，弹力绳的弹性势能转换成参与者的重力势能和与空气摩擦的内能。由于机械能的