数据同化基础知识和理论.doc

数据同化基础知识和理论 一、基础理论知识 1．高斯概率分布函数 P 其中，x=-∞ 2．两个相互独立的联合高斯概率分布函数 P(A∩B)=P(A)?P(B) P P P 3．N个相互独立的联合高斯概率分布函数 P(A1∩A2∩A3?∩An)=P(A1)?P(A2)?P(A3)?P(An) P 4．点的最优估计 假设每组观测都是无偏的，则有 P 对X的最优估计就是使P达到最大值，即 I= 达到最小值,I对x求导，可得 dI 求I的最小值，则 dI 求得 x= 一个点的最优估计与观测值的方差有关。 5．条件概率和贝叶斯理论（Bayes Theorem） P P ∴ P 假设： A：t时刻的模式值x B：0到t时的所有观测值Y 则 PAB：给定到t时刻的所有观测值 PBA： P(A)：给定0到t-1时刻的所有观测值后，t时刻模式值的概率分布P P(B)：给定0到t-1时刻的所有观测值后，t时刻观测值的概率分布P ∴ P 二、最优插值（Optimal Interpolation） 假定有三个变量x1、x 变量的分析值为 x x x 求x1的最优估计，即方差( x (x 因为 y y 代入上式，可得 (x (x 模式值与观测值是独立的，所以有 (x (x y y y 把以上五个式子代入（1）式，可得 (x 上式对W11 ? ? 方差(x1 ? 即 W W 写成矩阵形式为 σ 定义 B b= B+O 全矩阵形式： 定义 x：代表模式变量的N维列向量 yo xb xa W：N×K维的权重系数矩阵 H：把模式格点值投影到观测点的映射矩阵，又称为观测算子，维数为N×K 一个状态向量的分析值可表示为： x 三、卡曼滤波（Kalman Filter） 假设分析方程存在 x 上标f表示预报（forecast）。 对于一个高斯分布的状态量，概率分布函数（PDF）表示为 p 使px K B= b= 所以，可以得到K（Kalman gain）的表示式 K 如果Cf是给定的，则卡曼滤波相当于最优插值，因此，最优插值也称为静态卡曼滤波（stationary Kalman Filter） 四、三维变分（Three dimensional variational algorithm） 假设模式背景场与观测值都符合高斯分布，则有 P P P Max 其中 J C为背景误差协方差，R为观测误差协方差。 C可以从模式的历史数据时间序列得到。如果C是预先给定的，则三维变分只是最优插值的另外一种表达形式，也可称为静态卡曼滤波（stationary Kalman Filter） 五、例子 模式：LORENZ 63 方法：最优插值（Optimal Interpolation） 模式：LORENZ 63 方法：集合卡曼滤波（Ensemble Kalman Filter） 上图为真值和20个集合的数据图 下图为真值和同化后(20个平均)的模拟值图 方差：0.7791