高中物理竞赛讲义——微积分初步.doc

PAGE 高中物理竞赛讲义——微积分初步 一：引入 【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几倍。 分析： ①根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于八个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U1=8U2 ； ②立方体角点的电势与什么有关呢?电荷密度ρ；二立方体的边长a；三立方体的形状； 根据点电荷的电势公式U= eq \f(K Q,r) 及量纲知识，可猜想边长为a的立方体角点电势为 U= eq \f(CKQ,a) =Ckρa2? ；其中C为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q是总电量，ρ是电荷密度；其中Q=ρa3③ 大立方体的角点电势：U0= Ckρa2?；小立方体的角点电势：U2= Ckρ（ eq \f(a,2) ）2= eq \f(CKρa2 ,4) ? ?大立方体的中心点电势：U1=8U2=2 Ckρa2 ；即U0= eq \f(1,2) U1 【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。 二：导数 tv㈠ t v 我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上的微积分。我们知道，过v-t图像中某个点作出切线，其斜率即a= eq \f(△v,△t) . 下面我们从代数上考察物理量的变化率： 【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2,试求其t时刻的速度的表达式。（所有物理量都用国际制单位，以下同） 分析：我们知道，公式v= eq \f(△s,△t) 一般是求△t时间内的平均速度，当△t取很小很小，才可近似处理成瞬时速度。 s(t)=3t+2t2 s(t+△t)=3(t+△t)+2(t+△t) 2 △s=s(t+△t)-s(t)=3(t+△t)+2(t+△t) 2-3t-2t2=3△t+4t△t+2△t2 v= eq \f(△s,△t) = eq \f(3△t+4t△t+2△t2,△t) =3+4t+2△t 当△t取很小，小到跟3+4t相比忽略不计时，v=3+4t即为t时刻的瞬时速度。 【练】假设一个闭合线圈匝数为100匝，其磁通量为φ=3t+4t3,求感应电动势随时间t的函数关系。 【小结】回顾我们求物理量y=f(t)的变化率瞬时值z的步骤： ①写出t时刻y0=f(t)的函数表达式； ②写出t+△t时刻y1=f(t+△t)的函数表达式； ③求出△y=y1- y0=f(t+△t)- f(t)； ④求出z= eq \f(△y,△t) = eq \f(f(t+△t)- f(t),△t) ； ⑤注意△t取很小，小到与有限值相比可以忽略不计。 ㈡ 无穷小 当△t取很小时，可以用V= eq \f(△s,△t) 求瞬时速度，也可用i= eq \f(△Q,△t) 求瞬时电流,用ε= eq \f(N△φ,△t) 求瞬时感应电动势。下面，我们来理解△t： △t是很小的不为零的正数，它小到什么程度呢？可以说，对于我们任意给定一个不为零的正数ε，都比△t大，即：ε△t 。或者从动态的角度来看，给定一段时间t，我们进行如下操作： 第一次，我们把时间段平均分为2段，每段时间△t= eq \f(t,2) ； 第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间△t= eq \f(t,3) ； 第三次，我们把时间段平均分为4段，每段时间△t= eq \f(t,4) ； ………… 第N次，我们把时间段平均分为N+1段，每段时间△t= eq \f(t,N+1) ； ………… 一直这样进行下去，我们知道，△t越来越小，虽然它不为零，但永远逼近零，我们称它为无穷小，记为△t→0。或者，用数学形式表示为 △t=0。其中“”表示极限，意思是△t的极限值为0。常规计算： ①（△t+C）=C ②C·△t=0 ③f(△t)=f(0) ④ f(t+△t)=f(t) ⑤ eq \f(sin(△t),△t) = 1 『附录』常用等价无穷小关系（） ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ㈢ 导数 前面我们用了极限“”的表示方法，那么物理量y的变化率的瞬时值z可以写成: z= eq \f(△y,△t) ,并简记为z= eq \f(dy,d t) ,称为物理量y函数对时间变量t的导数。物理上经常用某物理量的变化率来定义或求解另一物理量，如v= eq \f(dx,d t) 、a= e