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均值不等式应用例题解析(PPT教案)
基本不等式;一、均值不等式;证明:;问题:;同理三元均值不等式也可由 换元得到, 只要证明以下不等式成立:;;二、均值不等式的推广;3、常见变式;三、均值不等式的应用 ——用不等式证明不等式;当一个两项之积与另一个两项之积的积是个常数直接用均值不等式a、b代换每项内两数,再用不等式两边相乘的基本定理来解(积积定值直接用);直接用三元均值不等式来解;练习4:已知:a,b,c均为正数,求证:;二项之积为一个常数直接用均值不等式a、b代换即可.;技巧(构造法),当不等式左边含有元数时,我们采用构造不等式来证明,再不等式两边相乘或相加原理求解。
由基本不等式推出的几个常用构造不等式:;证明:因为;?;用求差法证明例4:;四、均值不等式的应用 ——求最值;注意:”一正二定三相等”是指利用均值不等式
证明或求最值必 须强调的三个特殊要求:
;ab≥9;例6、(1)一个矩形的面积为100m2,问这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周长最短?最短周长是多少?
(2)已知矩形的周长为36m,问这个矩形的长宽各是多少时,它的面积最大?最大面积是多少?;解:设矩形长为a,宽为b
则S=ab=100,L=2(a+b)
因为a+b ≧ =20 当且仅当a=b=10,a+b=20
所以L ≧40,当a=10,b=10时L最短,为40.;利用均值不等式求函数最值的步骤:;注意:各项必须为正数;解:函数看不出二项相乘为定值,需要变形使它二项相乘为定值(凑积定);的范围.;例9. 函数y= (x ≥ 0)的最小值
为______,此时x=______.;;练习 :1.函数
求函数f(x)的最小值.;练习2 函数
求该函数的最大值,并求出相
应x的值.;练习3;例11.求函数 的最小值.;?;练习1解答;例 12:;A、6 B、 C、9 D、12 ;;小结:利用均值不等式求最值时注意:; 阅读下题的各种解法是否正确,若有错,
指出有错误的地方。; ; 2 、求函数 的最小值.下面甲??
乙、丙三为同学解法谁对?试说明理由;丙:;2.若x>0,当x= 时,函数
有最 值 .;4.已知 ,则 的
最大值为 ,此时x= .;六、一题多解;七.不等式万能K法—求最值;方法讲解:;方法讲解:;方法讲解:;方法讲解:;方法讲解:;方法讲解:;方法讲解:;方法讲解:;方法讲解:;方法讲解:;完
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