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* 函数展开成幂级数 由于幂级数在收敛域内确定了一个和函数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末该函数的导数、积分等问题就迎刃而解。 一、泰勒级数 上节例题 存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 证明 逐项求导任意次,得 泰勒系数 泰勒系数是唯一的, 问题 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 定义 在x=0点任意可导, 证明 必要性 充分性 证明 二、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: 例1 解 由于M的任意性, 即得 例2 解 例3 解 两边积分 得 即 注意: 牛顿二项式展开式 双阶乘 2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分,复合等方法,求展开式. 例如 *
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