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08高考数学立体几何变式题练习 1．（人教A版，必修2．P17．第4题） 图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称． 图1正视图 图1 正视图 侧视图 俯视图 变式题1．如图1－1是一个几何体的三视图（单位：cm） （Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积； （Ⅲ）设异面直线与所成的角为，求． 图1－1俯视图 图1－1 俯视图 正视图 侧视图 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图1－2所示． （Ⅱ）这个几何体是直三棱柱． 图1－2由于底面的高为1，所以． 图1－2 故所求全面积 　　　　　　． 这个几何体的体积 （Ⅲ）因为，所以与所成的角是． 　　　在中，， 　　　故． 2．（人教A版，必修2，P20．例3） 如图2，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图． 图2俯视图 图2 俯视图 正视图 侧视图 变式题2－1．如图2－1．已知几何体的三视图（单位：cm）． （Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积． 图2－1正视图 图2－1 正视图 侧视图 俯视图 解（Ⅰ）这个几何体的直观图如图2－2所示． （Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为1cm，高为2cm），它的上部是一个圆锥（底面半径为1cm，母线长为2cm，高为cm）． 所以所求表面积， 图2－2所求体积． 图2－2 变式题2－2．如图2－3，已知几何体的三视图（单位：cm）． （Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积； （Ⅲ）设异面直线、所成角为，求．（理科考生） 俯视图 俯视图 正视图 侧视图 图2－3 图2－3 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图2－4所示．　 （Ⅱ）这个几何体可看成是由正方体及直三棱柱的组合体． 图2－4由，， 图2－4 可得． 故所求几何体的全面积 所求几何体的体积 （Ⅲ）由，且，可知， 故为异面直线、所成的角（或其补角）． 由题设知，， 取中点，则，且， ． 由余弦定理，得 　　　　　　　　　　　　　　　　． 3．（北师大版．必修2．P31．第4题） 如图3，已知E，F分别是正方体的棱和棱上的点，且，求证：四边形是平行四边形 图3 图3 变式题：如图3－1．已知、分别是正方体的棱和棱的中点． 图3－2（Ⅰ）试判断四边形的形状； 图3－2 （Ⅱ）求证：平面平面． 解（Ⅰ）如图3－2，取的中点，连结、． ∵、分别是和的中点， 图3－1∴， 图3－1 在正方体中，有 ，　∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 又、分别是、的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故． ∴四边形是平行四边形． 又≌， ∴， 故四边形为菱形． （Ⅱ）连结、、． ∵四边形为菱形， ∴． 在正方体中，有 ， ∴平面． 又平面， ∴． 又， ∴平面． 又平面， 故平面平面 4．（人教A版，必修2，P74．例2） 图4如图4，在正方体中，求直线与平面所成的角． 图4 图4－1变式题：如图4－1，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为4，过点作的的垂线交侧棱于点，交于点． 图4－1 （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求与平面所成的角的正弦值． 解：（Ⅰ）如图4－2，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系． ∴． 设，则． 图4－2∵，∴． 图4－2 ∴，∴，． 又， ∴且． ∴且． ∴且．∴平面． （Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面的一个法向量，又， ∴． ∴与平面所成角的正弦值为． 5．（人教A版，必修2，P87，第10题） 如图5，已知平面，且是垂足，试判断直线与的位置关系？并证明你的结论． 图5 图5 图5－1变式题5－1，如图5，已知平面，且是垂足． 图5－1 （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论． 变式题5－1，如图5，已知平面， 且是垂足． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论． 解（Ⅰ）因为，所以．同理． 又，故平面． （Ⅱ）设与平面的交点为，连结、． 因为平面，所以， 所以是二面角的平面角． 又，所以，即． 在平面四边形中，， 所以． 故平面平面． 图5－2变式题5－2．如图5－1，已知直二面角，与平面、所成的角都为，． 图5－2 为垂足，为垂足． （Ⅰ）求直线与所成角的大小； （Ⅱ）求四面体的体积． 解：（Ⅰ）如图5－2，在平面内，作，连结、．则四边形为平行四边形，所以，即为直线与所成的角（或其补角）． 因为． 所以．同理． 又与平面、所成角为，所以，，所以，． 在中，，从而． 因为，且为平行四边形， 所以． 又，所以． 故平面，从而． 在中，． 所以， 即直线与所成角的大小为． （Ⅱ）在中，，所以． 三角形的面积， 故四面体的体积 ． 6．（