08高考数学立体几何练习题.doc

PAGE 08高考数学立体几何练习题 1．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点． （Ⅰ）证明：面面； （Ⅱ）求与所成的角； （Ⅲ）求面与面所成二面角的大小． 2．如图，在四棱锥中，底面为矩形， 侧棱底面，，，， 为的中点. （Ⅰ）求直线与所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面内找一点，使面， 并求出点到和的距离． 3．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中 ． （Ⅰ）求的长； （Ⅱ）求点到平面的距离． 4．如图，在长方体，中，，点在棱上移动. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）当为的中点时，求点到面的距离； （Ⅲ）等于何值时，二面角的大小为. 5．（2007福建?理?18题）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2， D为CC1中点． （Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD； （Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小； （Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离． 6．（2007宁夏?理?19题）如图，在三棱锥中，侧面与 侧面均为等边三角形，，为中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 7．（2007陕西?理?19题）如图,在底面为直角梯形的四棱锥中，，,BC=6． (Ⅰ)求证：； (Ⅱ)求二面角的大小． 立体几何练习题参考答案 1．以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 . （Ⅰ）证明：因 由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面. （Ⅱ）解：因 （Ⅲ）解：在上取一点，则存在使 要使 为 所求二面角的平面角. 2．解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则的坐标为、 、、、 、，从而 设的夹角为，则 ∴与所成角的余弦值为. （Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则 ，由面可得， ∴ 即点的坐标为，从而点到和的距离分别为. 3． 解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设. ∵为平行四边形， （II）设为平面的法向量， 的夹角为，则 ∴到平面的距离为 4．解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则 （1） （2）因为为的中点，则，从而， ，设平面的法向量为，则 也即，得，从而，所以点到平面的距离为 （3）设平面的法向量，∴ 由 令， ∴ 依题意 ∴（不合，舍去）， . ∴时，二面角的大小为. 5．解：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，． 在正三棱柱中，平面平面，平面． 取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，， ，，． ，， xzABC x z A B C D O F y 平面． （Ⅱ）设平面的法向量为． ，． ，， 令得为平面的一个法向量．由（Ⅰ）知平面， 为平面的法向量．，． 二面角的大小为． （Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量， ．点到平面的距离． 6．解：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．设，则． 的中点， ．． 故等于二面角的平面角． ，所以二面角的余弦值为． 7．解：（Ⅰ）如图，建立坐标系，则，，，，，，，， ，．，，又，平面． AEDPCByz A E D P C B y z x 则，， 又，， 解得 平面的法向量取为， ，．二面角的大小为．