单倒置摆控制系统的状态空间设计 (2).doc

现 代 控 制 理 论 期 中 作 业 目录 ■摘要 1.背景 …………………………… 2.建模 …………………………… 3.对模型的特性分析 …………………………… 3.1能控性分析 ………………………… 3.2稳定性分析 ………………………… 4.单倒置摆系统的综合 ………………………… 5.设计方案 5.1全维状态观测器设计 ………………………… 5.2降维状态观测器设计 ………………………… 6.分析比较两种设计方案的性能 ……………………… 7.总结 ………………………… 8.参考文献 ………………………… ■摘要 单道倒置摆控制系统的状态空间是个单输入单输出系统，本文内容涉及到系统状态空间方程的建立，系统的运动分析，能控性和能观测判据的使用，状态反馈配置系统极点的综合。主要以全维状态观测器和降维状态观测器进行比较。 关键字：单倒置摆，状态空间，全维观测，降维观测。 单倒置摆控制系统的状态空间设计 背景 单倒置摆系统的原理图，如图所示。设摆的长度为L、质量为m，用铰链安装在质量为M的小车上。小车由一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u，相对参考系产生位移z。若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此它是一个不稳定系统。控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。 二．建模 为简化问题，工程上往往忽略一些次要因素。这里，忽略摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦及风力。设小车瞬时位置为z，倒置摆出现的偏角为θ，则摆心瞬时位置为(z+lsinθ)。在控制力u的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力u平衡，则有 即 (1) 由于绕摆轴旋转运动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有 即 (2) 式(1)、式(2)两个方程都是非线性方程，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒置摆直立，因此，在施加合适u的条件下，可认为、均接近零，此时sin≈，cos≈1，且可忽略项，于是有 (3) (4) 联立求解式(3) 、式(4)，可得 (5) (6) 消去中间变量，可得输入变量为u、输出变量为z的系统微分方程为 (7) 选取小车的位移z及其速度、摆角的位置及其角速度作为状态变量，z为输出变量，并考虑恒等式，及式(5)、式(6)，可列出系统的状态空间表达式为 (8a) (8b) 式中 假定系统参数M = 1kg，m=0.1kg，l = 1m，g = 9.81m/s2，则状态方程中参数矩阵为 ，， (9) 此时倒置摆的状态空间模型表达式为： （10a）