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全国高考数学考什么 高考数学压轴题全解全析
2018年高考数学全国甲卷 (Ⅱ卷)压轴题解析
例 1 (文科第12题,理科第11题)已知f (x) 是定义域为(,) 的奇函数,满足
f (1 x) f (1 x) ,若f (1) 2 ,f (1) f (2) f (3) f (50) ( )
A.-50 B.0 C.2 D.50
【分析】本题是高考中比较典型的题型,涉及抽象函数的奇偶性、对称性和周期性问题.
注意到题设条件f (x) 是奇函数且f (1x) f (1x) 可知,函数f (x) 的图象关于原点和直
线x 1对称,从而f (x) 的周期为4.再利用周期性求解即可.
【解析】解法1:因为f (x) 是定义域为(,) 的奇函数,故f (x) f (x) 且
f (0) 0 .
又f (1x) f (1x) ,所以f (x) f (2 x) .
从而f (x 2) f (x) ,f (x 4) f (x 2) f (x) .
于是函数f (x) 的周期为4,且f (4) f (2) f (0) 0 ,f (3) f (1) f (1) 2 ,
f (1) f (2) f (3) f (4) 0 .
所以f (1) f (2) f (3) f (50) f (1) f (2) 2 0 2 ,故选C.
解法2:因为f (x) 是奇函数且f (1x) f (1x) ,
所以函数f (x) 的图象关于原点和直线x 1对称,且函数f (x) 的周期为4.
不妨设f (x) Asin x ,由f (1) 2 得A 2 ,f (x) 2 sin x .
2 2
3
于是f (1) f (2) f (3) f (4) 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 0 .
2 2
所以f (1) f (2) f (3) f (50) f (1) f (2) 2 0 2 ,故选C.
【评注】若对于小题中含周期性的问题通常可以考虑构造y Asin(x ) B 或
y Acos(x ) B .函数图象的对称性问题是近十年高考数学全国卷每年必考的问题,因
此要熟悉函数图象的对称性的有关性质,详见本书第7章例2.
2 2
x y
例2(理科第12题)已知 、 是椭圆C : 1 (a b 0) 的左、右焦点,A
F F
1 2 a2 b2
3
P A
是椭圆左顶点,点 在过点 且斜率为 的直线上,PF F 为等腰三角形,
1 2
6
C
F F P 120 ,则 的离
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