单倒置摆控制系统的状态空间设计例子.doc

现代控制理论基础期中作业 题 目：单倒置摆控制系统的状态空间设计 姓 名：谢海波 学 号：P091812925 专业班级：电气工程及其自动化3班 指导老师：刁晨 西北民族大学电气工程学院 单倒置摆控制系统的状态空间设计 摘要：随着现代科学技术的迅速发展，对自动控制的精度、速度、范围及适应能力的要求越来越高，从而推动了自动控制理论和技术的发展。本次设计通过对单倒置摆系统的稳定性分析，建立出相应的状态空间状态模型；选取小车的位移及速度、摆的角位置和角速度作为状态变量、控制力作为输入变量、小车瞬时位置作为输出变量，建立状态空间描述，通过对状态空间描述的能空性和稳定性分析，可以确定当倒置摆向左或向右倾倒时，能否通过控制作用使它回复到原来直立位置。通过对系统的稳定性分析发现，没有反馈的控制系统是不稳定的，所以要设置反馈；本次设计采用了全反馈，为了实现单倒置摆控制系统的全状态反馈，必须获取系统的全部状态，因而可以设计全维状态观测器来实现。然而控制系统的小车位移可以用传感器测量，实际中无需估计，所以又可以设计降维状态观测器来实现状态反馈。本次设计涉及到系统状态空间方程的建立、系统的运动分析、能控性和能观测判据的的使用，状态反馈配置系统极点的综合、状态观测器实现状态反馈等问题，体现了状态空间分析法在现代控制理论中的重要地位以及在工程中的具体运用。 关键词：反馈、状态空间、观测器、matlab仿真 一、设计要求： 如图1所示，为单倒置摆系统的原理图。设摆的长度为L、质量为m，用铰链安装在质量为M的小车上。小车有一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u,相对参考系产生位移z。若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此，它是一个不稳定系统。通过设计状态空间模型和状态反馈以及观测器，对控制系统进行控制；控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。 图 1 二、设计需求分析： 对所要设计的系统分析知道，系统中单倒置摆能否处于垂直位置是由控制力（即输入 量）决定的，反过来输入量的大小，输入量作用的时间又是由单倒置摆的位置（输出量Z 和角度θ）决定的，只有两者都取合适的变量值时，才能使系统真正处于稳定状态。 三、设计步骤： （一） 对设计系统进行力学分析（抽象出研究对象）： 为简化问题，工程上可以忽略一些次要因素。在本例中，我们为了简化问题，方便研究系统空间的设计问题，忽略了摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦及风力。设小车的瞬时位置为z，倒置摆出现的偏角为θ，则摆心瞬时位置为。在控制力u的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力u平衡，则有 即 (1) 由于绕摆旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡，因而有 即 （2） 式（1）、式（2）两个方程都是非线性方程，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒置摆直立，因此，在施加合适u的条件下，可以认为、均接近于零，此时≈，,且可以忽略项，于是有 （3） （4） 连联立求解式（3）、式（4），可得 （5） （6） 消去中间变量θ，可得输入量为u、输出量为z的微分方程为 （7） 综合上述的分析，可抽象出系统的研究对象为：位移z、小车的速度、摆的角速度θ及其角速度的。系统的研究对象抽象成这四个变量后，接下来就可以根据前面的方程为这四个变量建立空间状态方程，并分析被控对象的特性。 （二）建立倒置摆的状态空间模型： 在上一步中，我们已经选取了四个研究对象作为状态变量，它们分别为：位移z、小车的速度、摆的角速度θ及其角速度的。Z为输出变量，在考虑，及式（5）、（6）、（7），可列出倒置摆的状态空间模型表达式为：