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小题专项集训 (十三 ) 立体几何（二） (时间： 40 分钟 满分： 75 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 50 分 ) → →→ → 1 1 1．已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任一点 O，OM＝ xOA＋2OB＋3OC， 则 x 的值为 ( )． 1 1 1 A. 6 B.3 C.2 D． 0 1 1 1 解析 由四点共面的充要条件，知 x＋2＋3＝1，因此 x＝ 6. 答案 A (2011 辽·宁 )如图，四棱锥 S－ABCD 的底面为正方形， SD⊥底面 ABCD，则下列结论中不正确的是 ( )． A ．AC⊥SB B．AB∥平面 SCD来源学 科 网 C．SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角D．AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 解析 易证 AC⊥平面 SBD，因而 AC⊥SB，A 正确；AB∥ DC，DC ? 平面 SCD， AB∥平面 SCD，B 正确；由于 SA，SC 与平面 SBD 的相对位置一样，因而所成的角相同． 答案 D 3．点 M 在 z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为 s＝(1，－ 1,1)的直线 l 的距 离为 6，则点 M 的坐标是 ( )． A ．(0,0， ±2) B．(0,0，±3) C．(0,0， ± 3) D．(0,0， ±1) 解析 设 M 为(0,0，z)，直线 l 的一个单位方向向量为 s0＝ 3 3 3 3 ，－ 3 ， 3 ， 故点 M 到直线 l 的距离 d＝ → → 2 1 2 ＝ 6，解得 z＝±3. 2 2＝ z － z |OM| － |OM·0 3 s | 答案 B 第 1 页 共 8 页 4．在如图所示的正方体 A B C D -ABCD 中， E 是 C D 1 1 1 1 1 1 的中点，则异面直线 DE 与 AC 夹角的余弦值为 ( )． 10 1 A ．－ 10 B．－ 20 1 10 C.20 D. 10 解析 如图建立直角坐标系 D － xyz，设 DA ＝ 1， 1 → → A(1,0,0)，C(0,1,0)，E 0， 2， 1 .则AC＝(－1,1,0)，DE 1 ＝ 0， 2， 1 ，若异面直线 DE 与 AC 所成的角为 θ， → → 10 cos θ＝ |cos〈AC，DE〉|＝ 10 . 答案 D 5．(2011 ·全国 )已知二面角 α－ l－β，点 A∈α，AC⊥ l，C 为垂足， B∈β，BD⊥ l， D 为垂足．若 AB＝2，AC＝BD＝1，则 D 到平面 ABC 的距离等于 ( )． 2 3 6 A. 3 B. 3 C. 3 D． 1 → → → → → → → → 解析 ∵AB＝AC＋CD＋DB，∴ |AB 2＝|AC 2＋|CD 2＋ |DB 2， | | | | → ∴|CD|2＝2.在 Rt△ BDC 中， BC＝ 3. ∵面 ABC⊥面 BCD，过 D 作 DH ⊥BC 于 H，则 DH⊥面 ABC， ∴DH 的长即为 D 到平面 ABC 的距离， · 1× 2 6 DB DC ∴DH ＝ BC ＝ 3 ＝ 3 .故选 C. 答案 C 6．如图所示，直三棱柱 1 1 1 中， AA1＝AB ABC－A B C AC， AB⊥ AC，M 是 CC1 的中点， Q 是 BC 的 中点， P 是 A1B1 的中点，则直线 PQ 与 AM 所成 的角为 ( )． π π A.6 B.4 π π C.3 D.2 第 2 页 共 8 页 解析 以 A 为坐标原点， AB、AC、AA1 所在直 线为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标 → 系，设 AA1 ＝ AB＝ AC＝ 2，则 AM ＝ (0,2,1)， → → → Q(1,1,0)，P(1,0,2)，QP＝(0，－ 1,2)，所以 QP·AM π ＝0，所以 QP 与 AM 所成角为 2. 答案 D 7．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为正三角形， 底面 ABCD 为正方形，侧面 PAD⊥底面 ABCD，M为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP＝MC，则 点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为 ( )． 解析 以 D 为原点， DA、 DC 所在直线分别为 x、y轴建系如图： 设 M(x， y,0)，设正方形边长为 a，则 a 3 2，0， 2 a ，C(0， a,0)，则|MC|＝ x2＋ y－ a 2， a 22 3 2 |MP|＝ x－ 2 ＋ y ＋ 2 a . 1 由|MP|＝|MC|得 x＝2y，所以点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为直线 y＝2x 的一 部分． 答案 A 第 3 页 共 8 页 8．如图所示，在四面体 P