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几何之勾股定理与弦图 几何之勾股定理与弦图--知识点讲解 勾股定理与弦图 一、问题简介 (一)勾股定理 1、勾股定理? 在我国,把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理,又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理。 2、勾股定理的证明? 如图,从两个大小相等的正方形中(边长都是a+b),减去4块一样的直角三角形后(直角三角形直角边为a、b,斜边为c),剩下的面积应该是相等的,所以得到:在直角三角形中,两个直角边和斜边满足一下数量关系?a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]c[sup]2[/sup](其中a、b为直角边,c为斜边) (二)弦图 这就是一个“弦图”。该“弦图”是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的,中间空出一个小正方形。而由三角形的四个斜边也构成了一个正方形。? 三国时期的吴国数学家赵爽就是利用这个“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明! 如图,有c[sup]2[/sup]4×(a×b÷2)+(b-a)[sup]2[/sup],化简得: a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]c[sup]2[/sup](其中a、b为直角边,c为斜边),即为勾股定理! 二、常见解题方法 一勾股定理? 勾股定理其实是一个很简单的定理,而我们小学奥数比较偏重于勾股定理的应用!首先,我们必须明确,勾股定理只能应用于直角三角形,这是大前提;其次就是,勾股定理描述的是直角三角形的三边之间的数量关系!题目一旦牵涉到这些,我们都可以运用勾股定理来解决! 例1、若直角三角形一直角边为9,则斜边为多少? 例2、在美丽的平面珊瑚礁图案中,三角形都是直角三角形,四边形都是正方形,如图所有的正方形的面积之和是980平方厘米。问:最大正方形的边长是多少?二弦图? 在弦图的简介中我们知道,弦图往往会伴随着正方形或者长方形出现,而正方形又跟等腰直角三角形(长方形跟直角三角形)是密切相关的,所以我们在碰到关于正方形、等腰三角形的题型时,不妨可以考虑通过构造弦图来解题! 例、从一个正方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条以后,剩下的长方形面积为5平方米,问:锯下的长方形木条的面积等于多少平方米?三勾股定理与弦图? 在小学奥数体系中,勾股定理与弦图的关系是密不可分的,很多题型中,先构造弦图,再利用勾股定理来解题往往会事半功倍,所以构造弦图是我们几何题目中的一大技巧! 例1、如图,P是正方形ABCD外面的一点,PB12厘米,△APB的面积是90平方厘米,△CPB的面积是48平方厘米。请问:正方形ABCD的面积是多少平方厘米?? 例2、△ABC是直角三角形,在边AB、BC、CA上分别取点D、E、F,使得ADAFFCEC。当△DEF成为等腰直角三角形、BE3cm、DB1cm时,求△ABC的面积。 【小升初奥数专题】几何之勾股定理与弦图--经典例题详解 三、经典例题详解 例1、如图所示,直线上并排放置着两个紧挨着的圆,它们的面积都等于1680 平方厘米,阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分。如果要在阴影部分内部放入一个尽可能大的圆,则这个圆的面积等于多少平方厘米? 例2、如图,自△ABC内部一点P向AB、BC、CA作垂线,垂足依次为F、D、E,以AF、FB、BD、DC、CE、EA为边长分别向外作正方形,这六个正方形的面积依次记为S[sub]1[/sub]、S[sub]2[/sub]、S[sub]3[/sub]、S[sub]4[/sub]、S[sub]5[/sub]、S[sub]6[/sub],如果S[sub]6[/sub]-S[sub]5[/sub]2,S[sub]4[/sub]-S[sub]3[/sub]1,那么试求S[sub]1[/sub]-S[sub]2[/sub]的值。 例3、如图所示,直角三角形PQR的直角边为5厘米和9厘米,问图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少? 例4、如图所示,在边长为 10 的正方形 ABCD 中,内接有6个大小相同的正方形,P、Q、M、N 是落在大正方形边上的小正方形的顶点,求这六个小正方形的面积。 2012-8-22 09:48 上传 下载附件 226.45 KB 1~3年级奥数每日一题汇总,含试题详解【每日不断更新中】 几何之勾股定理与弦图--巩固练习详解 2012-8-24 10:13 上传 下载附件 23.3 KB