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2012高中数学复习讲义 第三章 三角函数A
【知识导读】
任意角
任意角
的概念
角度制与
弧度制
任意角的
三角函数
弧长与扇形
面积公式
三角函数的
图象和性质
和 角
公 式
差 角
公 式
几个三角
恒等式
倍 角
公 式
同角三角函数关系
诱 导公 式
正弦定理与余弦定理
解斜三角形及其应用
化简、计算、求值
与证明
【方法点拨】
三角函数是一种重要的初等函数,它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系,同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”.这一部分的内容,具有以下几个特点:
1.公式繁杂.公式虽多,但公式间的联系非常密切,规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系,是记住这些公式的关键.
2.思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终,类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题,将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题,将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.
3.变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等,并且有的变换技巧性较强.
4.应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多,它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具,并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用,比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.
第1课 三角函数的概念
【考点导读】
理解任意角和弧度的概念,能正确进行弧度与角度的换算.
角的概念推广后,有正角、负角和零角;与终边相同的角连同角本身,可构成一个集合;把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角,熟练掌握角度与弧度的互换,能运用弧长公式及扇形的面积公式=(为弧长)解决问题.
理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.
角的概念推广以后,以角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴的正半轴,建立直角坐标系,在角的终边上任取一点(不同于坐标原点),设(),则的三个三角函数值定义为:.
从定义中不难得出六个三角函数的定义域:正弦函数、余弦函数的定义域为R;正切函数的定义域为.
掌握判断三角函数值的符号的规律,熟记特殊角的三角函数值.
由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号,可以简记为:一正(第一象限内全为正值),二正弦(第二象限内只有正弦值为正),三切(第三象限只有正切值为正),四余弦(第四象限内只有余弦值为正).另外,熟记、、、、的三角函数值,对快速、准确地运算很有好处.
掌握正弦线、余弦线、正切线的概念.
在平面直角坐标系中,正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线,并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题.
【基础练习】
1. 化成的形式是 .
第二或第四象限2.已知为第三象限角,则所在的象限是 .
第二或第四象限
3.已知角的终边过点,则= , = .
正4.的符号为 .
正
5.已知角的终边上一点(),且,求,的值.
解:由三角函数定义知,,当时,,;
当时,,.
【范例解析】
例1.(1)已知角的终边经过一点,求的值;
(2)已知角的终边在一条直线上,求,的值.
分析:利用三角函数定义求解.
解:(1)由已知,.当时,,,,则;
当时,,,,则.
(2)设点是角的终边上一点,则;
当时,角是第一象限角,则;
当时,角是第三象限角,则.
点评:要注意对参数进行分类讨论.
例2.(1)若,则在第_____________象限.
(2)若角是第二象限角,则,,,,中能确定是正值的有____个.
解:(1)由,得,同号,故在第一,三象限.
(2)由角是第二象限角,即,得,,故仅有为正值.
点评:准确表示角的范围,由此确定三角函数的符号.
例3. 一扇形的周长为,当扇形的圆心角等于多少时,这个扇形的面积最大?最大面积是多少?
分析:选取变量,建立目标函数求最值.
解:设扇形的半径为x㎝,则弧长为㎝,故面积为,
当时,面积最大,此时,,,
所以当弧度时,扇形面积最大25.
点评:由于弧度制引入,三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数.
【反馈演练】
二1.若且则在第_______象限.
二
三2.已知,则点在第________象限.
三
3.已知角是第二象限,且为其终边上一点,若,则m的值为_______.
4.将时钟的分针拨快,则时针转过的弧度为 .
5.若,且与终边相同,则= .
6.已知1弧度的圆心角所对的弦长2,则这个圆心角所对的弧
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