《定积分的概念》课件.pptVIP

1.5.3 定积分的概念 定积分的概念 内容： 应用 求定积分 利用定积分求不规则图形的面积 定积分的几何意义 用 “以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程： 分割 以曲代直 作和 逼近 求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法: (2)以直代曲:任取xi?[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi), 宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替. (4)逼近:所求曲边梯形的面积S为 (3) 作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值： xi-1 y=f(x) x y O b a xi xi (1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小 区间: 每个小区间宽度⊿x 如果当n?+∞时，Sn 就无限接近于某个常数， 这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作： 从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四个步骤”: 分割---以直代曲----求和------逼近. 1.曲边梯形面积问题; 2.变力作功问题; 3.变速运动的距离问题. 我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分的定义 它们都归结为:分割、近似求和、取逼近值 问题情境: 定积分的定义 一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间[a,b]等分成n个小区间,每个小区的长度为 ,在每个小区间上取一点,依次为x1,x2,…….xi,….xn,作和 如果 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分, 记作: . 定积分的相关名称： ? ———叫做积分号， f(x)dx —叫做被积表达式， f(x) ——叫做被积函数, x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， b ———叫做积分上限， [a, b] —叫做积分区间。 被积函数 被积表达式 积分变量 积分下限 积分上限 按定积分的定义，有： (1)由连续曲线y=f(x) (f(x)?0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2)设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为 (3)设物体在变力F=F(r)的方向上有位移，则F在位移区间[a, b]内所做的功W为 注 ：定积分数值只与被积函数及积分区间 [a, b] 有关, 与积分变量记号无关 函数在区间[a,b]上的定积分能否为负的? 定积分 定积分 = . 定积分的几何意义 当 f (x) ≥ 0，定积分 的几何意义就是 b A o x y a y=f (x) S 曲线 y = f (x)，直线 x = a、 x = b、 y = 0 所围成的曲边梯形的面积 当函数 f (x) ? 0 ， x?[a, b] 时 定积分 几何意义 就是位于 x 轴下方的曲边梯形面积的相反数. o x y a b y=f (x) S 用定积分表示下列阴影部分面积： S=______; S=______; y=sinx X O y X O y 5 -1 y=x2-4x-5 S=______; X O y y=cosx O X S2 S1 y S3 定积分的几何意义： 在区间[a,b]上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积). -4 6 5 O x y A B 例1：计算下列定积分. 求定积分，只要理解被积函数和定积分的意义，并作出图形，即可解决. 定积分的基本性质 性质1. 性质2. 定积分关于积分区间具有可加性 性质3. O x y a b y?f (x) Ｃ 例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积 解： 0 0 0 0 a y x y x y x y x f(x)=x2 f(x)=x2 -1 2 f(x)=1 a b -1 2 f(x)=(x-1)2-1