阿波罗尼斯圆在高考中的精彩演译.doc

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 383 [中国高考数学母题](第123号) 阿波罗尼斯圆在高考中的精彩演译 在高考中如何体现对数学文化的考查?通过演译古典名题,命制高考试题是其常用方式;以阿波罗尼圆为背景的高考试题就是一个典型的例子. [母题结构]:(阿波罗尼斯圆)如图,平面内到两定点A、B的距离之比为正常数λ(λ≠1)的 点P的轨迹是圆,该圆称为阿波罗尼斯圆,设直线AB与阿波罗尼斯圆交于M、N两点,阿波罗尼 斯圆有如下性质:PM平分∠APB,PN平分∠APB的外角,且AM:MB=AN:NB. [母题解析]:略. 1.阿氏圆方程 子题类型Ⅰ:(2008年四川高考试题)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上,且|AK|= |AF|,则△AFK的面积为( ) (A)4 (B)8 (C)16 (D)32 [解析]:由抛物线C的焦点为F(2,0),准线为x=-2K(-2,0);由|AK|=|AF|点A在阿氏圆: (x-6)2+y2=32上,代入y2=8x得:x2-4x+4=0x=2|y|=4△AFK的面积=|FK||y|=8.故选(B). [点评]:本题以条件|AK|=|AF|,来隐蔽阿氏圆,并把阿氏圆与抛物线结合设计试题,这是由阿氏圆生成试题的常用手法;当问题中含有PA=λPB(A,B为定点)这类条件时,一般都可借助阿氏圆来求解. [同类试题]: 1.(2006年四川高考试题)已知两定点A(-2,0)、B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( ) (A)π (B)4π (C)8π (D)9π 2.阿氏圆性质 子题类型Ⅱ:(2015年湖北高考试题)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴 交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(Ⅰ)圆C的标准方程为 ; (Ⅱ)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论: ①=;②-=2;③+=2.其中正确结论的序号是 (写出 所有正确结论的序号). [解析]:(Ⅰ)由圆C与x轴相切于点T|OA||OB|=|OT|2|OA|(|OA|+2)=1|OA|=-1A(0,-1),B(0,+1) C(1,)圆C:(x-1)2+(y-)2=2; (Ⅱ)设M(x,y),|MB|=λ|MA|x2+(y--1)2=λ2[x2+(y-+1)2](λ2-1)x2+(λ2-1)y2+2[(+1)-(-1)λ2]y= (+1)2-(-1)2λ2,与圆O:x2+y2=1比较得(+1)-(-1)λ2=0λ=+1==-1=-1 =,-=(+1)-(-1)=2,+=(+1)+(-1)=2.故选①②③. [点评]:由阿氏圆可以构造两类逆向型问题:①已知两定点A、B和其对应的阿氏圆方程,求距离比λ;本题就属此类;②已知阿氏圆方程和其对应的距离比λ,求两定点A、B. [同类试题]: 2.(2014年湖北高考试题)已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有 |MB|=λ|MA|,则①b= ;②λ= . 3.阿氏圆应用 子题类型Ⅲ:(2008年江苏高考试题)满足条件AB=2,AC=BC的三角形ABC的面积的最大 值是 . 384 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 [解析]:设A(-1,0),B(1,0),C(x,y),由AC=BC(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2](x-3)2+y2=8S△ABC的最大值=2. [点评]:本题把阿波罗尼斯圆与三角形结合设计试题,是氏圆典型的应用问题;阿氏圆具有丰富的几何性质,它给我们带来了多变的命题视角,尤其是与三角形,或更广泛的平面几何问题结合. [同类试题]: 3.(2011届南通市高三期末考试题)已知等腰三角形腰上的中线长为,则该三角形的面积的最大值是 . 4.子题系列: 4.(2011年浙江高考试题)P,Q是两个定点,点M为平面内的动点,且=λ(λ>0,且λ≠1),点M的轨迹围成的平面区域的面积为S,设S=f(λ)(λ>0,且λ≠1),则以下判断正确的是( ) (A)f(λ)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞