人教版A版高中数学选修2-2函数的极值与导数.ppt

[解析]　f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)． 由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b， 于是f′(x)＝5ax2(x2－1) (1)当a＞0时， x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞) y′ ＋ 0 － 0 － 0 ＋ y  极大值  无极值  极小值  [点评]　紧扣导数与极值的关系对题目语言进行恰当合理的翻译、转化是解决这类问题的关键． 函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2，在x＝1时有极值10，则a、b的值为 (　　) A．a＝3，b＝－3，或a＝－4，b＝11 B．a＝－4，b＝1，或a＝－4，b＝11 C．a＝－1，b＝5 D．以上都不正确 [答案]　D [解析]　f′(x)＝3x2－2ax－b ∵x＝1是函数f(x)的极值点，且在x＝1处的极值为10，∴f′(1)＝3－2a－b＝0① f(1)＝1－a－b＋a2＝10② 当a＝3，b＝－3时 f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2 当x＜1时，f′(x)＞0 当x＞1时，f′(x)＞0 ∴当x＝1时函数不存在极值． 当a＝－4，b＝11时符合题意，故应选D. [例4]　求函数f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a＋1)内的极值(a>0) [解析]　由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)， 令f′(x)＝0得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  由此可得： 当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值； 当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值； 当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值； 当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值． 综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值； 当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值； 当a＝1或a≥3时，f(x)无极值． [点评]　判断函数极值点的注意事项 (1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． (2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间(a，b)上的单调函数没有极值． (3)导数不存在的点也有可能是极值点，如f(x)＝|x|在x＝0处不可导，但由图象结合极小值定义知f(x)＝|x|在x＝0处取极小值． (4)在函数的定义区间内可能有多个极大值点或极小值点，且极大值不一定比极小值大． (5)在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值时，若方程f′(x)＝0的实数根较多时，应注意使用表格，使极值点的确定一目了然． (6)极值情况较复杂时，注意分类讨论． (1)当cosθ＝0时，判断函数f(x)是否有极值； (2)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围； (3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间(2a－1，a)内都是增函数，求实数a的取值范围． [分析]　f(x)是否有极值，需研究是否存在x0点，使f′(x0)＝0且在x0左、右f′(x)的符号相反；求参变量范围注意其他条件． 当x变化时，f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表： [点评]　本例主要考查了运用导数研究函数的单调性与极值，解不等式等基本知识，要注意分析题目，培养综合分析和解决问题的能力． (2009·陕西文，20)已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0 (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x＝－1处取得极大值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围． [分析]　本小题主要考查函数、导数的应用等基础知识，考查分类整合思想、推理和运算能力． [解析]　(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)， 当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0， ∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)． ∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3， 由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1. 由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1， 在x＝1处取得极小值f(1)＝－3. ∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19<－3，f(3)＝17>1， 结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)． 一、选择题 1．若函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则f′(x0)＝0是x0为函数y＝f(x)的极值点的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既