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一,常微分方程的基本概念
常微分方程:
含一个自变量 x ,未知数 y 及若干阶导数的方程式。一般形式
为: F (x ,y ,y , y(n) )=0 (n ≠0).
1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。
(3 )
如:f(x) +3f(x)+x=f(x) 为 3 阶方程。
2. 若 f (x )使常微分方程两端恒等,则 f (x )称为常微分方程的解。
3. 含有独立的任意个常数 (个数等于方程的阶数) 的方程的解称为常
微分方程的通解。 如常系数三阶微分方程 F (t ,x (3))=0 的通解的形
1 2 3
式为: x (t )=c x (t )+c x (t )+c x (t )。
4. 满足初值条件的解称为它的特解(特解不唯一,亦可能不存在) 。
5. 常微分方程之线性及非线性:对于 F (x ,y ,y , y(n) )=0 而言,
如果方程之左端是 y ,y , y(n) 的一次有理式,则次方程为 n 阶线性
微分方程。 (方程线性与否与自变量无关) 。如:xy (2 ) -5y , +3xy=sinx
为 2 阶线性微分方程; y (2 )+siny=0 为非线性微分方程。
注:a. 这里主要介绍几个主要的, 常用的常微分方程的基本 概念。
余者如常微分方程之显隐式解, 初值条件, 初值问题等概念这里予以
略去。另外,有兴趣的同学不妨看一下教材 23 页的雅可比矩阵。
b. 教材 28 页第八题不妨做做。
二 . 可分离变量的方程
A. 变量分离方程
1. 定义: 形如 dy =f (x) φ(y) 的方程,称为分离变量方程。这里 f
dx
(x ), φ (x )分别是 x ,y 的连续函数。
2. 解法:分离变量法 dy f (x )dx c . (* )
(y )
说明: a 由于(* )是建立在 φ (y )≠0 的基础上,故而可能漏解。
需视情况补上 φ (y )=0 的特解。(有时候特解也可以和通解统一于
一式中)
b. 不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。
( 2 4 ) 0
例 1. ydx x x dy
解:由题意分离变量得: dx dy 0
2
x 4 y
1 1 1 dy
即: ( )dx 0
4 x 4 x y
1
积分之,得: (ln x 4 ln x ) ln y c
4
4
故原方程通解为: (x 4)y cx (c 为任意常数),特 解 y=0
包含在通解中(即两者统一于一式中) 。
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