数学欣赏 教学课件 ppt 作者 张文俊数学欣赏2011版H.ppt

2002年11月12日,俄罗斯数学家Grigory Perelman博士在互联网上贴了一份预印本，他神秘地说：“我们给出此猜想的一个不拘一格的证明概述”.许多读者只不过以为Perelman勾勒出对此问题一个可能的冲击罢了. 但是Perelman用电子邮件澄清说,他想要公开一个实际的证明. 2003年3月10日, Perelman发出了第2份帖子,它包含了这个工作的更多细节,他还再次说,要完成这项工作. 2003年4月7，9，11日，Perelman在麻省理工学院作了系列公开演讲（题目为“3维流形的几何化与Ricci流”），撇开技术细节，Perelman的结果证明了数学中一个非常深刻的定理，即所谓的Thurston几何化猜想。Thurston猜想是Poincare猜想的推广。 尽管这是一个不完整的证明，据说其中还有一些漏洞，但Perelman的工作有其重要价值。 首先他瞄准的是一个更广泛的猜想——Thurston几何化猜想； 其次他采用的是很早就被华裔数学家陈省身、丘成桐等关注的Hamilton方法。 Thurston几何化猜想 7 William Thurston，著名拓扑学家，美国康奈尔大学教授，1972年获University of California at Berkeley 博士学位。 William Thurston的猜想源于19世纪德国数学家Bernhard Riemann的一个里程碑式的定理——单值化定理. 该定理说, 任何二维空间(即任意曲面)可以被按摩成在各处均具有相同类型的曲率:或是都为负的,或都为正,或是平坦.这种“几何化”的曲面具有的曲率越负则它具有的洞越多.一个推论是,一个无空洞的曲面必是 正向弯曲的,因此拓扑等价于一个球面. Thurston寻求把Riemann的单值化定理带到三维流形,即他的“几何化猜想”. 但是三维流形远较二维复杂,数学家们不能按Riemann那样把它们熨烫成常曲率. 在1970年代后期,Thurston 发现有八种不同的三维流形。其中有：S3 (三维球面几何)；E3 (三维欧氏几何)；H3 (三维双曲几何)；S2×E1；H2×E1等。 这些几何涉及的范围从双曲的(负向弯曲)到球面的(正向弯曲). 同时他猜想（几何化猜想）, 在适当的地方进行切割,他们可以把任何三维流形分成若干片, 它们可以转换成这8种标准几何之一。 上述几何化猜想如果为真,则就会给数学家们某种“周期表”,用来对三维流形分类.它也会立即解决Poincare猜想.因为7种非球面的几何中每一个都将留下泄露其真面目的拓扑指纹,于是那个没有识别记号的空间就会是球面. Thurston工作的重要性并不光是能推出 Poincare猜想。因为 Poincare 猜想只是流形分类中遇到的一个特殊问题，而 Thurston描述出了对所有三维流形进行分类的猜想。而且他把低维拓扑与古典几何(尤其是双曲几何)、Klein群、李群、复分析、动力系统等许多数学分支联系到了一起。Thurston 等人的工作之后，低维拓扑才迅速在数学里占据了核心地位，引起广泛关注。 他因此获得1982年的菲尔茨奖. Hamilton 的Ricci流 8 Rn Rn f g gf-1 gf-1 保持某种结构 f -1 M 比如： 当gf -1正反连续（同胚）时，M叫做n维拓扑流形； 当gf -1正反连续可微（微分同胚）时，M叫做n维微分（光滑）流形； 当n为偶数2m，且gf -1正反全纯（双全纯）时，M叫做m维复解析流形。 光滑流形 复流形 拓扑流形 通俗地讲：一个n维流形由一些点（可能是完全抽象的点）构成，其每一个点附近都可看作n维欧几里德空间的一部分（压平），而且不同的局部接缝比较光滑，就像我们的足球面一样。 一团乱麻是一个1维流形，因为，它的局部都可以拉直为直线； 一个曲面是一个2维流形，因为，它的局部都可以压平为平面； 一块物体是一个3维流形，因为，它的局部都可以看作小立方体。 判断两个流形是否相同，关键在于看其结构是否相同，而与其中的点的表达等无关。 如果两个流形之间存在一种一一对应的变换，而这种变换是正反连续（同胚）的，则这两个流形被认为本质上是一样的。 通俗地讲，如果两个流形可以通过拉伸、压缩、弯曲、扭转等操作把一个流形变为另一个流形，则这两个被认为本质上是一样的。 例如， 一个球面可以拉伸、压缩，以各种方式去弯翘，只要不去撕破它，在拓扑学家眼里它还是一个球面。 在拓扑学家看来，一块砖头和一只实心球是一样的，一个钢圈和一个带环把儿的茶杯也是一样的。 拓扑学家寻求的是如何去识别或刻画所有可能的流形，包括宇宙的形状——这正是Poincare猜想的主题。 Poincare猜想 4 流形的刻画 如何去识别或刻画所有可能