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* 一、质量-线性弹簧系统的自由振动 特征根—固有频率(圆频率) 其中: 为积分常数 周期:T 频率:f=1/T 振幅: A 相位:?0t + ? 初相位: ? §7-1、单自由度系统的振动 * 一、质量-线性恢复力系统的自由振动 二、质量-非线性恢复力系统的自由振动 * 振动方程线性化的条件——微振动 三、微幅自由振动微分方程建立的方法 建立微分方程,将非线性函数泰勒展开,略去二阶以上的高阶项 建立微分方程前,将系统的动能、势能函数泰勒展开,略去三阶以上的高阶项 * 例:已知质量m, 杆长l, 求系统微振动固有频率 解:系统的动能和势能 展开保留二阶小量 * 三、弹簧的等效刚度 * §7-2、单自由度系统的阻尼振动 运动微分方程 设: c:粘阻系数 一、欠阻尼状态(? ? ? 0) * 二、过阻尼状态(? ? 0) 三、临界状态(? = ? 0) §7-2、单自由度系统的阻尼振动 c:粘阻系数 * §7-3、单自由度系统的受迫振动 其中: 当 一、无阻受迫振动 当 称为共振频率 * §7-3、单自由度系统的受迫振动 二、有阻受迫振动 * (1)当 (2)当 (3)当 (4)当 B 取得极大值 解的特性讨论 * 例:已知: ,求滑块的动力学方程。 解:应用质心运动定理 取静平衡位置为坐标原点 x为滑块质心的坐标。 * 例:已知: ,求滑块的动力学方程。 应用Lagrange方程 取 x=0,θ=0 为零势能点 * 例:已知, 求相对振动方程。 解:应用牛顿第二定理 将该式对时间求二阶导数 * 例:已知 §5-1、动力学普遍方程 例:已知重为m2g,半径为r 的圆盘沿斜面纯滚动,重量为m1 g的斜块在光滑水平面上运动。求系统运动微分方程。 1 选取广义坐标 2 施加惯性力 3 主动力、惯性力的虚功 4 动力学普遍方程 例:已知重为m2g,半径为r 的圆盘沿斜面纯滚动,重量为m1 g的斜块在光滑水平面上运动。求系统运动微分方程。 主动力的虚功、广义力 惯性力的虚功、广义力 动力学普遍方程 1,选取广义坐标 x 2,用广义坐标表示势能 3,用广义坐标及其导数的表示动能 4,拉格朗日函数 5,套公式 x=0 时弹簧无变形 例1:已知质量为m1,半径为r 的圆盘沿斜面纯滚动,质量为m2 的斜块在光滑水平面上运动。求运动微分方程: 1,选取广义坐标 2,用广义坐标表示势能 3,用广义坐标及其导数的表示动能 如果保守系统的 L 不显含某些广义坐标 上式称为拉格朗日方程的循环积分,相应的坐标称为循环坐标。 称为对应于广义坐标 的广义动量 §4-3、拉格朗日方程的首次积分 例:系统如图所示,杆长为l,质量为m1,圆盘半径为R,质量为m2 。求系统运动微分方程。 解:1、自由度和广义坐标 2、动能和势能 3、拉格朗日方程 例:图示机构在铅垂面内运动,均质圆盘在地面上纯滚动,均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求系统的运动微分方程。 广义坐标 x 例:系统如图所示,杆长为l,质量为m1,圆盘半径为R,质量为m2 。求系统运动微分方程。 例:图示机构在铅垂面内运动,均质圆盘在地面上纯滚动,均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求系统的运动微分方程。 L ? T+V=C ? 能量积分 则: 该式称为Lagrange方程的广义能量积分 对于具有定常约束的保守系统一定有 如果保守系统系统拉格朗日函数中不显含时间t, 给出系统的首次积分(1)循环积分(2)能量积分 * 刚体定点运动的角速度和角加速度 角速度 * 角速度 章动角速度 自转角速度 进动角速度 * Q:怎样找到角速度的方向 1 合成 2 寻找刚体上速度为零的点 瞬时转动轴:在某瞬时,刚体上存在一根通过定点O的 轴,在该轴上各点的速度均为零,该轴称为瞬时转轴。 * 刚体定点运动的角加速度 * o 向轴加速度 转动加速度 定点运动刚体上各点的加速度 * 例:已知 的大小为常量,求圆盘的角速度 和角加速度 随体坐标系:DC 自转轴 章动角: 900 进动角:DC-z 平面相对于xoz平面的转角 自转角:圆盘相对于框架 DC-z 章动角速度:0 进动角速度: 自转角速度: 角速度: 角加速度: * 例:已知OA轴绕铅垂轴匀角速转动,圆盘与碾盘无滑动,求M点的速度和加速度 A O C M 随体坐标系:OA 自转轴 章动角: 900 进动角:OA的转角 自转角:圆盘相对于框架OAz 章动角速度:0 进动角速度: 自转角速度: 角速度: 角加
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