也谈利用函数证明不等式.pdf

· 36· 中学数学研究 2014年第9期 式，则我们可以构造齐次分式来处理此类问题． 解法：当口=0时，c=± ，此时2a+c=± ， 当口≠o时，(2口+c)：挚 ： 3 麓 [¨ ]，20 2116 ： o， ’ 或 _ ： 20 320 设詈口= J(『2口+c)=3t11+k一k4-IJ】，。) ： l= 一32， 4 4 = 311+5k+31]测 )= ，可 求得 )一= ÷)=28，所以2a+c的最大值为 2 综上得2a+c的最大值为2 [1]王伯龙．一类二元最值问题的极坐标解法．数学通讯(上 如果了解方程tl,X+妒 +cxy=m表示(旋转过 半月)．2012(4)． [2]黄兆麟．一类二元最值问题的代数换元解法．数学通讯 的)二次曲线，则此类问题也能转化为圆锥曲线中 (上半月)．2012(10)． 的最值问题来处理． [3]刘功骚．一类二元最值问题的三角换元解法．数学通讯 另外，如果了解高等数学中的拉格朗日乘数法， (上半月)．2012(10)． 则此类问题可以借助拉格朗日函数来处理．以上面 也 谈 利 用 函 数 证 明 不 等 式 浙江省杭州学军中学 (310012) 李丽丽 不等式的证明是高中数学中的一个重要内容， (1)比较答 易构造 的函数情形 方法多、思路灵活、技巧性强．教材中介绍了比较法、 例 求证： + ≥ 。 分析法和综合法等常规证法．但对于许多结构新颖、 风格各异的不等式，运用常规方法往往难以奏效，或 简析：这是一个大家熟悉的例子，由所证不等式 者证明过程十分繁琐，有必要另辟蹊径，以发挥求异 构造函数 )=÷1十 ，易知 )在[0‘，-4∞)上为 思维的探索功能．函数是贯穿于高中数学课程的一 增函数，由I口l+IbI≥I口+bI，可知厂(I口l+IbI) 条主线，它是高考与竞赛试题的主要内容，而利用函 数在处理不等式问题上往往大有用武之地．笔者根 ≥，(I口+61)，即 ≥ ，再 据教学中的体会，结合实例从几个方面来简要谈谈 不等式证明中函数的妙用，供大家参考． 由放缩法，_I +i_}_l≥i_ + 1．利用函数的单调性证明不等式 —1+I口I+IbI=一—1+I 4 b ，从而不等式得证． 函数的单调性的应用之一就是可以通过自变量 口l- I I， Iu‘】、=奇=A仟 u【‘ 的大小关系得出函数值的大小关系，利用这一性质