考研数学知识三讲义微分方程.ppt

例7.1.1 求过点(1，2)，且切线斜率为2x的曲线方程 .;可将求解的问题和条件归结为以下方程：;含有未知函数导数或微分的方程叫做微分方程. ;7.2 几种常见的一阶微分方程;1.可分离变量的微分方程;2.齐次微分方程;;3.一阶线性微分方程;; 现在我们用一阶线性齐次微分方程的通解，利用“常数变易法”求其相应的一阶线性非齐次微分方程的通解. ;将此代入方程 ;;例7.2.1 求微分方程 ;例7.2.2 求初值问题 ;例7.2.3 解方程 ;于是原方程变成;例7.2.4 求方程 ;两边积分得;;解法2 ：直接用一阶线性微分方程通解公式(7.2.4)：;例7.2.6 求 ;;原方程的通解为：;;7.3 高阶微分方程;1.可降阶的高阶微分方程;;;(3) ;例7.3.1 解二阶微分方程 ;;两端再积分，得;例7.3.3 解方程 ;即;2.二阶线性微分方程解的结构; 下面我们讨论二阶线性微分方程解的结构，这些结构可以推广到n阶线性微分方程.;以下定理均略去证明.;定理7.3.2 设y*是二阶非齐次线性微分方程(7.3.1)的一个特解, 是方程(7.3.1)所对应的齐次线性微分方程(7.3.2)的通解, 那么;定理7.3.3 设非齐次线性方程(7.3.1)的右端f (x)是几个函数之和,如;3.二阶常系数齐次线性微分方程; 就行. 代数方程(7.3.4)称为微分方程(7.3.3)的特征方程 .;(1)若特征方程有两个不同的实根r1, r2, 方程(7.3.3)有两个解;;;例7.3.4 求微分方程 ;;例7.3.6 解方程 ;4.二阶常系数非齐次线性微分方程; 是方程(7.3.7)的特解，Q(x)为待定多项式，将;代入(7.3.8)式，比较等式两端x同次幂系数，就可确定 值，从而所求特解为 ;②如果λ是特征方程 单根，即 ;③如果λ是特征方程重根，即 ;; 是m次多项式，m=max{l, n}, 而k按 )不是特征方程的根或是特征方程的单根分别取为0或1 .;例7.3.9 求 ;;例7.3.10 求微分方程 ;代入方程，得;例7.3.11 求 ;;例7.3.12 求 ;由待定系数法知