微积分下册总复习知识.ppt

4、函数项级数 (1) 定义 (2) 收敛点与收敛域 (3) 和函数 (1) 定义 5、幂级数 (2) 收敛性 推论 定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. a.代数运算性质: 加减法 (其中 (3)幂级数的运算 乘法 (其中 除法 b.和函数的分析运算性质: (4) 幂级数展开式 充要条件 唯一性 展开方法 a.直接法(泰勒级数法) 步骤: b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. 常见函数展开式 (２) 柱面坐标 注 通常是先积 再积 后积 (３) 球面坐标 通常是 注 5、二重积分的应用 (1) 体积 设S曲面的方程为： 曲面S的面积为 (2) 曲面面积 当薄片是均匀的，重心称为形心. (3) 重心 薄片对于x轴的转动惯量 薄片对于y轴的转动惯量 (4) 转动惯量 薄片对 轴上单位质点的引力 为引力常数 (5) 引力 6、三重积分的应用 (１) 重心 (２) 转动惯量 第九章 曲线积分与曲面积分 曲线积分的性质及两类曲线积分的关系. 2. 会计算两类曲线积分. 曲线积分与路径无关的条件. 1. 理解两类曲线积分的概念, 了解两类 3. 掌握格林(Green)公式, 会使用平面 (Gauss) 、 5.了解散度、旋度的概念及其计算 6. 会用曲线积分、 4. 了解两类曲面积分的概念及高斯 并会 计算两类曲面积分. 斯托克斯(Stokes)公式, 方法. 曲面积分求一些 几何量与物理量. 曲 线 积 分 第一类曲线积分 第二类曲线积分 定义 联系 计 算 三代一定 二代一定 (与方向有关) 格林公式 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 思路 闭合 非闭 闭合 非闭 补充曲线或用公式 第二类曲线积分 的计算法 ò + L y y x Q x y x P d ) , ( d ) , ( òò ? ? - ? ? = D y x y P x Q I d d ) ( 如果曲面方程为以下三种： 第一类曲面积分 曲面积分 则 则 则 第二类曲面积分 其中符号当Σ取上侧时为正，下侧时为负。 其中符号当Σ取右侧时为正，左侧时为负。 其中符号当Σ取前侧时为正，后侧时为负。 注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. 两类关系 高斯公式 设向量场 P, Q, R, 在域G内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 ? 的通量为 2. 通量与散度 G 内任意点处的散度为 斯托克斯(stokes)公式 斯托克斯公式 斯托克斯( Stokes ) 公式 2. 旋度 第二类曲面积分的计算法 1. 利用Gauss公式 具有 则 外侧. 一阶连续偏导数, 具有一阶连续偏导数, 则 2. 上侧为正，下侧为负。 常数项级数 函数项级数 交 错 级 数 正 项 级 数 幂级数 三角级数 收 敛 半 径 R 泰勒展开式 数或函数 函 数 数 任 意 项 级 数 傅氏展开式 傅氏级数 泰勒级数 满足狄 氏条件 在收敛 级数与数 条件下 相互转化 第十章 无穷级数 定义 1、正项级数及其审敛法 审敛法 (1) 比较审敛法 (2) 比较审敛法的极限形式 定义 正 、负项相间的级数称为交错级数. 2、交错级数及其审敛法 定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 3、任意项级数及其审敛法 总 复 习 1、多元函数的定义、极限及连续性 确定极限 不存在 的方法 (1) 此时即可断言极限不存在。 找两种不同趋近方式, 但两者不相等, 存在, 第七章 多元函数微分学 2、偏导数与全微分 可 微 连 续 偏导数连续 偏导存在 若不存在，则不可微， 否则转下一步； 若为0，则可微， 否则不可微。 3、复合函数求导法 则复合函数 (1) 一个方程情形(二元方程、三元方程) 4、隐函数的求导法 隐函数存在定理1 设 的某一邻域内满足: 在点 则方程 的某一邻域内 并有 (1) 具有连续偏导数; 它满足条件 在点 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 (2) 方程组情形 隐函数的个数=方程的个数 隐函数的自变量个数=总自变量个数 方程的个数 5. 多元函数微分学的几何应用 (1) 空间曲线的切线与法平面(三种情形) (2) 空间曲面的切平面与法线(三种情形) 6. 方向导数与梯度 方向导数 梯度 * * 方向导数与梯度的关系 函数沿梯度方向的方向导数最大(即增长最快)，且方向导数的最大值为梯度的模。 7. 多元函数的极值与最值 (1