整数线性规划—整数线性规划问题的提出和分支定界解法.ppt

第5章 整数线性规划 第1节 整数线性规划问题的提出 第2节 分支定界解法 第3节 割平面解法 第4节 0-1型整数线性规划 第5节 指派问题 第1节 整数线性规划问题的提出 在前面讨论的线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，但对于某些具体问题，常有要求解答必须是整数的情形(整数解)。 例如，所求解是机器的台数、完成工作的人数或装货的车数等，分数或小数的解答就不合要求。 为了满足整数解的要求，初看起来，似乎只要把已得到的带有分数或小数的解经过“舍入化整”就可以了。但这常常是不行的，因为化整后不见得是可行解；或虽是可行解，但不一定是最优解。 因此，对求最优整数解的问题，有必要另行研究。我们称这样的问题为整数线性规划(integer linear programming)，简称ILP，整数线性规划是最近几十年来发展起来的规划论中的一个分支。 整数线性规划中如果所有的变数都限制为(非负)整数，就称为纯整数线性规划(pure integer linear programming)或称为全整数线性规划(all integer linear programming)；如果仅一部分变数限制为整数，则称为混合整数计划(mixed integer linear programming)。 整数线性规划的一种特殊情形是0-1规划，它的变数取值仅限于0或1。本章最后讲到的指派问题就是一个0-1规划问题。 现举例说明用前述单纯形法求得的解不能保证是整数最优解。 例1：某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如表5-1所示。问两种货物各托运多少箱，可使获得利润为最大? 表5-1 现在我们解这个问题，设x1，x2分别为甲、乙两种货物的托运箱数(当然都是非负整数)。 这是一个(纯)整数线性规划问题，用数学式可表示为： max z =20x1+10x2 ① 5x1+4x2≤24 ② 2x1+5x2≤13 ③ (5.1) x1，x2≥0 ④ x1，x2整数 ⑤ 它和线性规划问题的区别仅在于最后的条件⑤。现在我们暂不考虑这一条件，即解①～④(以后我们称这样的问题为与原问题相应的线性规划问题) 很容易求得最优解为：x1=4.8 x2=0 max z=96  但x1是托运甲种货物的箱数，现在它不是整数，所以不合条件⑤的要求。 是不是可以把所得的非整数的最优解经过“化整”就可得到合于条件⑤的整数最优解呢? 如将(x1=4.8，x2=0)凑整为(x1=5，x2=0)，这样就破坏了条件②(关于体积的限制)，因而它不是可行解； 如将(x1=4.8，x2=0)舍去尾数0.8，变为(x1=4，x2=0)，这当然满足各约束条件，因而是可行解，但不是最优解，因为当x1=4，x2=0, 时z=80。 但当x1=4，x2=1(这也是可行解)时，z=90。 图中画(+)号的点表示可行的整数解。凑整的(5，0)点不在可行域内，而C点又不合于条件⑤。为了满足题中要求，表示目标函数的z的等值线必须向原点平行移动，直到第一次遇到带“+”号B点(x1=4，x2=1)为止。 这样，z的等值线就由z=96变到z=90，它们的差值Δz=96-90=6 表示利润的降低，这是由于变量的不可分性(装箱)所引起的。 由上例看出，将其相应的线性规划的最优解“化整”来解原整数线性规划，虽是最容易想到的，但常常得不到整数线性规划的最优解，甚至根本不是可行解。因此有必要对整数线性规划的解法进行专门研究。 第2节 分支定界解法 在求解整数线性规划时，如果可行域是有界的，首先容易想到的方法就是穷举变量的所有可行的整数组合，就像在图5-1中画出所有“+”号的点那样，然后比较它们的目标函数值以定出最优解。对于小型的问题，变量数很少，可行的整数组合数也是很小时，这个方法是可行的，也是有效的。 在例1中，变量只有x1和x2 由条件②，x1所能取的整数值为0、1、2、3、4共5个；由条件③，x2所能取的整数值为0、1、2共3个；它的组合(不都是可行的)数是3×5=15个，穷举法还是勉强可用的。 对于大型问题，可行的整数组合数是很大的。 例如在本章第5节的指派问题(这也是整数线性规划)中，将n项任务指派n个人去完成，不同的指派方案共有n!种，当n=10，这个数就超过300万；当n=20，这个数就超过2×1018，如果一一计算，就是用每秒百万次的计算机，也要几万年的功夫，很明显，解这样的题，穷举法是不可取的。所以我们的方法一般应是仅检查可行的整数组合的一部分，就能定出最优的整数解。 分支定界解法(branch and bound method)就是其中的