算法效率分析基础知识概论.ppt

递归算法与非递归算法比较 * 递归算法与非递归算法比较 * 并非所有递归算法都有非递归定义。 Ackerman函数 Ackerman函数A(n, m)有两个独立的整型变量m≥0和 n≥0，定义如下： 当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时，称这个函数是双递归函数。 递归算法与非递归算法比较 Ackerman函数 * A(n，m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数： m=0时，A(n,0)=n+2 m=1时，A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2，A(1,1)=2故A(n,1)=2n m=2时，A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)，A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2，故A(n,2)= 2n。 m=3时，类似的可以推出 A(n,3)= m=4时，A(n,4)的增长速度非常快，以至于没有适当的数学式子来表示这一函数。 经验分析法 数学远远不是万能的，即使许多貌似简单的算法，有时也很难用数学的精确性和严格性来分析，尤其是在做平均效率分析的时候。 除了可以对算法的效率做数学分析以外，另一种主要方法是对算法的效率做实验和经验分析。 * 经验分析法 * 算法可视化 参考 * Summary 2-算法效率分析基础 陆伟 College of Software and Microelectronics 算法设计与分析 Introduction to the Design and Analysis of Algorithms * Northwestern Polytechnical University Lecture Overview 1. 算法效率的度量 2. 函数的渐进的界 3. 算法的基本复杂性类型 4.?算法复杂性分析的基本方法 5. 非递归算法的复杂性分析 6. 递归算法的复杂性分析 7. 递归算法与非递归算法比较 8. 经验分析方法 9. 算法可视化 * 算法效率的度量 算法效率的高低体现在运行该算法所需要耗费资源的多少，对于计算机来讲，最重要的资源是时间和空间，因此，算法效率又可分为时间效率和空间效率。 分别用N，I和A表示要解决问题的规模、算法的输入和算法本身，用C表示复杂性，那么，应该有C = F(N, I, A)。如果吧时间复杂性与空间复杂性分开，分别用T和S表示，则T = F(N, I, A)，S = F(N, I, A)。 T = T(N, I)，S = S(N, I)。 * 算法效率的度量 计算机存储容量的发展使得算法空间复杂性已经不再是关注的重点，但时间复杂性仍然十分重要。因此，我们后续也将主要讨论算法的时间复杂性，但是所讨论的方法对于空间复杂性分析也是适用的。 根据T = T(N, I)的概念，它应该是算法在一台“抽象的计算机”上运行所需要的时间。 * 算法效率的度量 设该“抽象的计算机”所提供的元运算有k种，分别记为O1,O2,…,Ok，又设每执行一次这些元运算所耗费的时间分别为t1,t2,…,tk。对于给定算法A，统计其执行过程中用到的元运算Oi的次数，记为ei，i=1,2,…,k。ei = ei (N, I)。 其中，ti是与N和I无关的常数。 * 算法效率的度量 我们不可能对规模为N的每一种合法输入I都去统计ei(N, I)，i=1,2,…,k。 关于摊销效率 * 函数的渐进的界 函数的渐进的界 设f 和g 是定义域为自然数集N上的函数 (1) f(n)=O(g(n)) 若存在正数c和n0使得对一切n≥n0有0≤f(n)≤cg(n) (2) f(n)= Ω(g(n)) 若存在正数c和n0使得对一切n≥n0有0≤cg(n)≤ f(n) (3) f(n)=o(g(n)) 对任意正数c存在n0使得对一切n≥n0有0≤f(n)cg(n) (4) f(n)=ω(g(n)) 对任意正数c存在n0使得对一切n≥n0有0≤cg(n)f(n) (5) f(n)=Θ(g(n)) ? f(n)=O(g(n)) 且f(n)=Ω(g(n)) (6) O(1)表示常数函数 * 函数的渐进的界 * 函数的渐进的界 函数渐进的界的基本性质（1） 设f 和g 是定义域为自然数集N上的函数： （1）若 ，c为大于0的常数，那么 f(n)=Θ(g(n)) （2）若 ，那么 f(n)=o(g(n)) （3）若 ，那么 f(n)=ω(g(n)) * 函数的渐进的界 函数渐进的界的基本性质（2） 设f , g, h 是定义域为自然数集N上的函数： （1）