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椭圆的标准方程
知识点一:椭圆的定义
(1)我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
(2)椭圆的定义用集合语言叙述为:
P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}.
(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表:
条件
结论
2a>|F1F2|
动点的轨迹是椭圆
2a=|F1F2|
动点的轨迹是线段F1F2
2a<|F1F2|
动点不存在,因此轨迹不存在
知识点二:椭圆的标准方程
思考 在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗?
梳理 (1)椭圆标准方程的两种形式
焦点位置
标准方程
焦点
焦距
焦点在x轴上
eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)
F1(-c,0),F2(c,0)
2c
焦点在y轴上
eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(a>b>0)
F1(0,-c),F2(0,c)
2c
(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系
椭圆在坐标系中的位置
标准方程
eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(a>b>0)
焦点坐标
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的关系
b2=a2-c2
(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标.
判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些,即“谁大在谁上”.如方程为eq \f(y2,5)+eq \f(x2,4)=1的椭圆,焦点在y轴上,而且可求出焦点坐标F1(0,-1),F2(0,1),焦距|F1F2|=2.
1.到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.
2.椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关,与位置无关.
3.椭圆的两种标准形式中,虽然焦点位置不同,但都具备a2=b2+c2.
类型一 椭圆定义的应用
例1 点P(-3,0)是圆C:x2+y2-6x-55=0内一定点,动圆M与已知圆相内切且过P点,判断圆心M的轨迹.
反思与感悟 椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视.
定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.
常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断曲线是否为椭圆的限制条件.
跟踪训练1 下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|+|PF2|=eq \r(2)的点P的轨迹为椭圆;
②已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足|PF1|+|PF2|=4的点P的轨迹为线段;
③到定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.
类型二 求椭圆的标准方程
例2 求焦点在坐标轴上,且经过两点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),\f(1,3))),Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,-\f(1,2)))的椭圆的标准方程.
引申探究
求与椭圆eq \f(x2,25)+eq \f(y2,9)=1有相同焦点,且过点(3,eq \r(15))的椭圆方程.
反思与感悟 (1)若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).
(2)与椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为eq \f(x2,a2+λ)+eq \f(y2,b2+λ)=1(a>b>0,b2>-λ),与椭圆eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为eq \f(y2,a2+λ)+eq \f(x2,b2+λ)=1(a>b>0,b2>-λ).
跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(-4,0),F2(4,0),椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10;
(2)椭圆过点(3,2),(5,1);
(3)椭圆的焦点在x轴上,且经过点(2,0)和点(0,1).
类型三 椭圆中焦点三角形问题
例3 (1)已知P是椭圆eq \f(y2,5)+eq \f(x2,4)=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积;
(2)已知椭圆eq \f(x2,9)+eq \f(y2,2)=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,求∠F1PF2的大小.
反思与感悟 在椭圆中,当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时,这
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