椭圆的简单性质.ppt

* 标准方程为: 的椭圆的性质 让我们一起研究： F2 F1 O x y 椭圆关于y轴对称。 F2 F1 O x y 椭圆关于x轴对称。 A2 A1 A2 F2 F1 O x y 椭圆关于原点对称。 F2 F1 O x y 椭圆关于y轴、x轴、原点对称。 F2 F1 O B2 B1 A1 A2 x y 横坐标的范围： 纵坐标的范围： -a? x ? a -b? y ? b 所以 由式子 知 从而：-a? x ? a O B2 B1 A1 A2 x y 可得x= ? a 在 中令y=0， 从而：A1(-a,0),A2(a,0) 同理：B1(0, -b),B2(0, b) O B2 B1 A1 A2 x y 线段A1A2叫椭圆的长轴; 线段B1B2叫椭圆的短轴。 长为2a 长为2b 上面椭圆的形状有什么变化？ O x y O x y 显然，a不变，b越小，椭圆越扁。 也即，a不变，c越大，椭圆越扁。 把椭圆的焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，用e表示，即 (±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0) 0e1 ( ) 椭圆的几何性质 -a? x ? a -b? y ? b -a? y ? a -b? x ? b 椭圆方程 范围 对称性 顶点 离心率 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点 例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并画出它的图形. 解：把方程化为标准方程: 所以: a = 5 ,b = 4 c = 顶点坐标为 (-5,0)，(5,0)， (0,4)，(0,-4) 所以，长轴长2a=10,短轴长2b=8 ； 离心率为0.6 ； X Y O 焦点坐标为(-3,0),(3,0) 例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2); 解：易知a=3,b=2 又因为长轴在x轴上, 所以椭圆的标准方程为 (2)长轴的长等于20,离心率等于0.6 (2)由已知, 2a=20,e=0.6 或 因为椭圆的焦点可能在x轴上,也可能 在y轴上,所以所求椭圆的标准方程为 ∴a=10,c=6 ∴b=8 练习1,求适合下列条件的椭圆的标准方程 经过点P(2,0) Q(1,1); (2)与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距,且离心率为0.8. 或 例3、2003年10月15日，我国自行研制的 载人宇宙飞船“神舟”五号在酒泉卫星发 射中心成功升空，实现了中华民族千年的 飞天梦。飞船进入的是距地球表面近地点 高度约200km，远地点约350km的椭圆 轨道(地球半径约为6370km)。求轨道椭圆 的标准方程(精确到0.1km) (注:地球球心位于椭圆轨道的一个焦点). 解:如图,地球的球心为椭圆轨道右焦点F2 , 近地点、远地点分别为A2,A1,以A1A2的 中点为原点，建立平面直角坐标系，使 F2 , A1,A2都在x轴上，则 y x O A1 A2 F2 F1 y x O A1 A2 F2 F1 |F2A2|=a-c=200+6370， |A1F2|=a+c=350+6370， 所以a=6645,c=75, b2=a2-c2=66452-752=44 150 400 椭圆轨道的标准方程为 例4：点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直线l: 的距离的比等于常数 ， 求M点的轨迹。 解：设d是点M到直线l: 的距离， 根据题意，点M的轨迹是集合 由此得 将上式两边平方，并化简，得 即 这是一个椭圆。