教学参考-第八讲.不等式选讲拔高难度-讲义.docxVIP

目录 TOC \o 1-4 \h \z \u 目录 1 一、考纲解读 2 二、命题趋势探究 2 三、知识点精讲 2 (一).不等式的性质 2 (二).含绝对值的不等式 2 (三).基本不等式 3 (四).不等式的证明 3 四、解答题题型总结 3 核心考点一:解含绝对值的不等式 3  一、考纲解读 1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值. 2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位. 3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值. 4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式. 二、命题趋势探究 本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档. 三、知识点精讲 (一).不等式的性质 1.同向合成 （1）； （2）； （3）. （合成后为必要条件） 2.同解变形 （1）； （2）； （3）. （变形后为充要条件） 3.作差比较法 (二).含绝对值的不等式 （1）； （2） （3）零点分段讨论 (三).基本不等式 （1）（当且仅当等号成立条件为） （2）（当且仅当等号成立条件为）； （当且仅当时等号成立） （3）柯西不等式 （当且仅当时取等号） ①几何意义： ②推广：.当且仅当向量与向量共线时等号成立. (四).不等式的证明 （1）作差比较法、作商比较法. （2）综合法——由因到果. （3）分析法——执果索因. （4）数学归纳法. （5）构造辅助函数利用单调性证明不等式. （6）反证法. （7）放缩法. 四、解答题题型总结 核心考点:利用柯西不等式证明解不等式 柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式及向量表现形式，而且有明显的几何意义，它与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等式，不过它的特点更明显应用更直接. 1.二维形式的柯西不等式 设，.等号成立. 证明 设，由，得， 又，即，，故 等号成立即. 2.一般形式的柯西不等式 设及为任意实数， 则， 当且仅当（规定时，）时等号成立. 证法一：当全为时，命题显然成立. 否则，考查关于的二次函数，显然恒成立. 注意到，而恒成立，且， 故的判别式不大于零，即， 整理后得. 证法二：向量的内积证法. 令，，为与的夹角. 因为，且，所以 ，即，等号成立或平行. 柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它可以简单地证明许多复杂的不等式，下面举例说明. 1已知函数，且的解集为. = 1 \* GB3 ①求的值； = 2 \* GB3 ②若，且，求证：. 解析 = 1 \* GB3 ①因为，等价于.由有解，得，且其解集为.又的解集为，故. = 2 \* GB3 ②由 = 1 \* GB3 ①知，又， 由柯西不等式得 . 2.已知，，求证：. 解析 由柯西不等式有 .当且仅当 即 时等号成立. 故. 3.已知，. 求证：. 解析 由柯西不等式及,,, . 即,又因为,所以 . 4.设实数满足，求证：. 解析 由柯西不等式，.所以，所以. 5.已知,且，求证：. 解析 因为 . 所以原不等式等价于. 由柯西不等式有 . 故. 又由柯西不等式有 . 所以 . 6.已知正实数满足，求证：. 解析 由,得,从而原不等式等价于 . 左边. 7.已知求证：。 证明：由柯西不等式，得 由已知则可知上式取等号，当且仅当时 于是 。 8.已知为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数，有不等式。 证明：由柯西不等式： 于是。 又因为为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于，次小的数不小于，最大的不小于，这样就有。 所以有。 因为 而 所以有。 9.设a,b,c为正数且不相等到，求证： 证明：我们利用9与2这两个常数进行巧拆，9=， 这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。 明：2 因为a,b,c各不相等， 等号不可能成立，从而原不等式成立。 10.设,且，求证： 解：由 则 由 且应用柯西不等式 即 故 11.已知，, 求证： 分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了。 证明： ＝ ＝ 。