习题课 函数与极限 大学数学.ppt

习题课 一、 函数 2. 函数的特性 例1. 设函数 思考与练习 2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么? 二、 连续与间断 3. 闭区间上连续函数的性质 例5. 设 f (x) 定义在区间 P73 题5. 证明: 若 三、 极限 3. 无穷小 例6. 求下列极限： 令 练习 2. 求 * 二、 连续与间断 一、 函数 三、 极限 函数与极限 第一章 1. 函数的概念 定义: 定义域 值域 图形: ( 一般为曲线 ) 设 函数为特殊的映射: 其中 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 3. 反函数 设函数 为单射, 反函数为其逆映射 4. 复合函数 给定函数链 则复合函数为 5. 初等函数 有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与复 复合而成的一个表达式的函数. 求 解: 1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么? 相同 相同 不是 是 不是 提示: (2) 1. 函数连续的等价形式 有 2. 函数间断点 第一类间断点 第二类间断点 可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点 有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 . 例3. 设函数 在 x = 0 连续 , 则 a = , b = . 提示: 有无穷间断点 及可去间断点 解: 为无穷间断点, 所以 为可去间断点 , 极限存在 例4. 设函数 试确定常数 a 及 b . 上 , , 若 f (x) 在 连续, 提示: 且对任意实数 证明 f (x) 对一切 x 都连续 . P73 题5 证: 令 则给定 当 时, 有 又 根据有界性定理, , 使 取 则 在 内连续, 存在, 则 必在 内有界. 1. 极限定义的等价形式 (以 为例 ) (即 为无穷小) 有 2. 极限存在准则及极限运算法则 无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ; 常用等价无穷小: 4. 两个重要极限 6. 判断极限不存在的方法 ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ 5. 求极限的基本方法 提示: 无穷小 有界 ～ 则有 复习: 若 1. 求 的间断点, 并判别其类型. 解: x = –1 为第一类可去间断点 x = 1 为第二类无穷间断点 x = 0 为第一类跳跃间断点 * * * * *