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2012年上海市高中数学竞赛答案 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 . 2.已知正整数满足: ,则的最小可能值是 . 3.若，, ，则 . 4．已知关于的方程仅有一个实数解，则实数的取值范围是 . 5．如图，是边长为的正方形的内接三角形，已知，，则 . 6．方程的非负整数解 . 7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答） 8．数列定义如下：.若，则正整数的最小值为 . 二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，，，对角线AC与BD的夹角，记直线AB与CD的距离为． 求的表达式，并写出x的取值范围． 10．（本题满分14分）给定实数，求函数的最小值． 11．（本题满分16分）正实数满足，求证： （1）； （2）． 12．（本题满分16分）给定整数，记为集合的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值： （a） ； （b） A中的元素（除1外）均为A中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求的值； （2）求证：． 参考答案： 1、 2、92 3、11 4、 5、 6、 7、 8、4025 9．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得 ． ① …………………（2分） 在△OBC中，由余弦定理 ， 所以 ， ② 由①，②得 ． ③ …………………（5分） 所以 ， 故 ， 所以 ． …………………（10分） 由③可得，，故． 因为，结合②，③可得 ， 解得（结合） ． 综上所述，，． …………………（14分） 10．解 ． 当时，，此时 ， 且当时不等式等号成立，故． …………………（6分） 当时，，此时“耐克”函数在内是递减，故此时 ． 综上所述， …………………（14分） 11．证 （1）记，由平均不等式 ． …………………（4分） 于是 ， 所以 ， 而，所以，即，从而 ． …………………（10分） （2）又因为 ， 所以 ， 故 ． …………………（16分） 12．解 （1）设集合，且A满足（a），（b）．则．由于不满足（b），故． 又 都不满足 （b），故． 而集合满足（a），（b），所以． …………………（6分） （2）首先证明 ． ① 事实上，若，满足（a），（b），且A的元素个数为． 令，由于，故． 又，所以，集合，且B满足（a），（b）．从而 ． …………………（10分） 其次证明： ． ② 事实上，设满足（a），（b），且A的元素个数为．令 ， 由于 ， 所以，且．而 ， ， 从而B满足（a），（b），于是