第二章 信号分析与处理-2.ppt

令 代入协方差表达式，可得 当 和 不是N的整倍数时， 即 在这样的k和 处不相关，N越大，不相关的频率点越多，谱线起伏越剧烈。 下面给出方差等于1的白噪声功率谱。 上面四幅图，依次按照点数的不同，给出了白 噪声的功率谱，通过比较可以看出周期图法的方差 性能不好。 为了分析周期图方差性能不好的原因，我们回到 前面关于自相关函数和功率谱的原始定义 两者之间的关系即维纳—辛钦定理，它是建立在集总意义上的。通常，我们往往求不出集总意义上的自相关函数和功率谱，因而又假定 是各态历经的。即： 在上式中，包含了求均值和求极限的运算。 求极限的必要性是明显的，求均值运算之所以必要，是因为 虽然是各态历经的， 可由其中的一个样本函数 来求出，但对 作傅立叶变换后，得到的 不再具有各态历经性，因此真实谱 应在集总意义上求出。另外，如果没有求均值运算，求极限运算也不会在任意统计意义上收敛。周期图： 既无求极限运算，也无求均值运算，它只能看作是对真实谱 作均值运算时的一个样本，缺少了统计平均，当然也就产生大的方差，这就是周期图不好的主要原因。 为了改进周期图的估计性能，常用的方法有两种，一是平滑，二是平均。所谓平均，也即在一定程度上弥补上述所缺的均值运算。 （5）间接法的估计质量 取 时，间接法和直接法相同，当 时， 不等于 ，而是对 的平滑，以下讨论 的估计质量。 （a）偏差 间接法的谱为： 所以： 由于 ，所以 的主瓣宽度远小于 的主瓣宽度。 当 时， 趋近于 函数，这时 如果 是一个渐变的谱，使得在 主瓣内接近于一个常数。即 ： 如果能保证 则： 这是窗函数设计时，必须考虑的问题。 由上面讨论可知，间接法也是一种有偏估计，在满足上面二个约束条件时，是渐近无偏的，不过由于 影响，其偏差趋于零的速度要小于直接法，因此，对周期图做平滑，会使偏差加大。 （b）方差 假设信号x(n)是零均值，方差为 的高斯白噪声 令： 一般 应是以m=0对称并递减的，且v(0)=1，又 ，所以Kr<1，即 的方差小于 的方差，这正是 对 的平滑结果 由上面的讨论，我们可以得出下述结论 （1）由于在 上施加了一个较短的窗口 使间接法估计的偏差大于直接法。 （2）由于 的主瓣宽度较大，使临近频率上估计值变得相关，平滑了谱线。 （3） 的平滑是以牺牲分辨率为代价的，由于 主瓣宽，使其分辨率下降。 在方差，偏差，分辨率之间存在着矛盾，在实际工作中，只能根据需要作出折衷的选择。 （6）直接估计法的改进 直接法估计出的谱 的方差特性不好，当数据点数N太大时，谱曲线起伏加剧，N太小时，谱峰分辨率又不好，因此，需要加以改进。此处所说的改进，主要是指改进其方差特性。间接法是对直接法的一种改进，又称为周期图的平滑。对其改进的另外一种方法是所谓的平均法，它的指导思想是把一长度为N的数据 分为L段，分别求每一段的功率谱，然后予以平均。在实际运用中，有时还把平均与平滑结合起来使用。 （a）Bartlett法 由概率论可知，对L个具有相同均值 和方差 的独立随机变量 ，新随机变量 的均值也是 ，但方差是 ，减小了L倍，Bartlett法把 分为L段，每段长度都是M，即N=L*M，第i段数据加