数学建模2线性规划模型与销售计划问题.docx

逐鹿小站供稿 线性规划模型与销售计划问题 摘 要：这篇文章主要讨论了线性规划模型与销售计划问题。这是在生产和销售中经常 提到的问题。通过合理的销售方案以达到更大的经济效益。为解决这样的问题，主要是 通过分析建立线性规划模型，然后利用?Matlab?软件工具箱中求解线性规划模型的函数 linprog?,?编写?Matlab?程序，最后就可以求出满足题意的解。 关键词：销售；线性；实际 1 问题的提出 某商店拟制定某种商品?7—12?月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为?1500 件，6?月底已存货?300?件，年底的库存以不少于?300?件为宜，以后每月初进货一次，假设 各月份该商品买进、售出单价如下表。 表?1 月 7 8 9 10 11 12 买进（元/件） 28 26 25 27 24 23.5 售出（元/件） 29 27 26 28 25 25 假设每件每月的库存费用为?0.5?元，为使净收益最多，各月进货、售货计划该如何安排。 2 问题的分析 在中国战国时期，曾经有过一次流传后世的赛马比赛，相信大家都知道，这就是田 忌赛马。田忌赛马的故事说明在已有的条件下，经过筹划、安排，选择一个最好的方案， 就会取得最好的效果。解决该问题的核心是要确定一组决策变量，使得在确定的约束条 件下，目标函数取得最大值。其中，约束条件是决策变量的线性方程或线性不等式，目 标函数是决策变量的线性函数。由此可知，这种计划的安排归属于线性规划问题，可以 建立线性规划模型求解。该问题中决策变量、目标函数较多，无法利用图解法，而如果 利用单纯性法求解过程很复杂，所以使用?Matlab?软件编程求解。 3 模型假设 （1）该种商品的价值不随时间变化而发生增值或减值，每月实际售出商品可以是库 存商品或是当月买进商品； （2）每月月初进货，需要计算库存费用的商品量为当月月底库存商品量； （3）只有销售商品收入、买进商品费用、库存费用计入净收益计算公式，而运输费， 摊位费等管理费用不计； （4）每月进货、售货计划商品量相互独立，互不影响。 4 模型原理 线性规划是求一个 函数?f??x1,?x2?,??xn??（称为目标函数）在规定条件 ?x1,?x2?,??xn????A?（称为约束条件）下的极大值或极小值问题。 http://www.zhu.lu/ 0 ??a???x????a???x???? ??a???x????a???x????????a???x???????,???b ?? 21???1 ?a???x????a???x????????a???x???????,???b ????m1???1 设线性规划模型的一般式为： max(min)Z???c1x1???c2?x2???????cn?xn ??a11x1???a12?x2???????a1n?xn?????,???b1 22 2 2n n 2 约束条件（s.t.）?? ??? m2 2 mn n m ?? x?j???0,??j???1,2,?n? ?  （5.1） （5.2） 满足约束条件（5.2）的一组数??x1,?x2?,??xn??，称为该线性规划模型的可行解。 为讨论方便，我们规定线性规划模型的标准型，而其它非标准型总可以通过一些方法 化为标准型。 线性规划模型的标准型为： 目标函数 max?Z???c1x1???c2?x2???????cn?xn （5.3 ） ??a???x????a???x????????a???x?????b?? 21???1?a???x??? ??a???x????a???x????????a???x?????b ?? 21???1 ?a???x????a x????????a???x?????b ? m1???1 22 2 2n n 2 约束条件 （s.t.）?? ??? m2 2 mn n m ?? x?j???0,??j???1,2,?n? ?  （5.4） 约束条件（s.t. 约束条件（s.t.）????AX???B 利用向量或矩阵符号，线性规划模型的标准型还可以记为： 目标函数?max?Z???CX ??X???0 ??a11 a12 ? ??a11 a12 ? a1n?? ????? ????a2n?? 其中?C????c1?,?c2?,?cn??，?A???? 21 ? ? ??? ??a ????amn??? ??a a22 ? ?  ??m1?am2  ， ??b1??B???? ??b1?? B???? ??? ??b??? ??x1?? ，?X??????x2?? ??? ??x??? ??b2?? ? ? ? m?? ??? ??? ??n??  ，?X???0?是指?X?的各分量?x1,?x2?,??xn??