高等数学微积分第九章_第1节.ppt

一、第二型曲线积分的定义 二、第二型曲线积分的性质 三、第二型曲线积分的的计算 §1.第二型曲线积分 四、第一、二型曲线积分的关系 一、第二型曲线积分的定义 1.定向曲线 带有确定走向的曲线 定向曲线的参数表达式 定向曲线的向量表达式 规定: 当曲线L为简单封闭曲线时,可取曲线上任一点为始点,沿规定方向走一周回到该点.故该点也是终点.如无特殊说明,本书约定逆时针方向为正向. 2.切向量 若取由始点起到L上动点（x,y,z）的弧长为参数则曲线方程为： 一、第二型曲线积分的定义 一、第二型曲线积分的定义 由弧微分公式得到： 则相应的向量式表示为： 则 3.定义 问题：设一个质点在引力场 在此我们依旧引进分点系.计算变力在每一小弧长上对质点所做的功,最后加起来再求其极限. 一、第二型曲线积分的定义 先考虑变力 F 沿平面曲线 L 所作的功。 根据常力所作的功 对曲线进行分割 力 一、第二型曲线积分的定义 求和 取极限 近似值 精确值 一、第二型曲线积分的定义 一、第二型曲线积分的定义 若和式极限 存在,并且与L的分割方式以及诸点的取法无关,则称上式为 沿定向曲线L的第二型曲线积分,记作 当 在光滑(或分段光滑)的定向曲线L上连续时,第二型曲线积分必然存在。 一、第二型曲线积分的定义 二、第二型曲线积分的性质 1.线性 设α和β都为常数, 沿L可积,则 4.长大不等式 设 ，曲线L 的长度是 ,则 二、第二型曲线积分的性质 三、第二型曲线积分的计算 设积分曲线L的参数方程为 因此第二型曲线积分可按下式化为定积分计算 则 重庆牛皮癣医院/重庆治疗牛皮癣最好的医院 奀莒哕 说明： 2) 第二类曲线积分也是化为定积分进行计算，但此时定积分的上、下限要根据题目中给定的定向曲线弧的起点和终点来选定，下限不一定小于上限 . 3) 计算第二类曲线积分时，由于涉及到积分曲线的定向问题，要慎用对称性. 一般地，在曲线积分化为定积分后再对定积分考虑能否用对称性简化计算 . 特殊情形 例1 解 A(a,0,0)对应与参数t=0, B(a,0,c)对应与参数 计算曲线积分 例2 其中L是椭圆 1 1 且从z轴正向看去L取顺时针方向 根据公式化为定积分计算 三、第二型曲线积分的计算 例3 解 三、第二型曲线积分的计算 例4 解 注：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同. 对一、二型曲线积分有 因为曲线L在点P(x,y,z)的单位切向量可表示为 四、第一、二型曲线积分的关系 例5. 四、第一、二型曲线积分的关系 四、第一、二型曲线积分的关系 四、第一、二型曲线积分的关系 例6 四、第一、二型曲线积分的关系 于是 知识回顾Knowledge Review