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第4节微分中值定理及其应用1. 函数的极值2. Fermat定理3. Rolle定理4. Lagrange定理5. Cauchy定理2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系1 函数的极值定义1类似定义极小值, 极小值点. 极值和最值的区别(1)极值为局部性质,最值为整体性质;2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系2.Fermat定理(费马)Fermat定理的几何意义注意：1 . Fermat定理的逆不一定成立。例如,2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系3. 罗尔(Rolle)中值定理2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系证明2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系几何解释:2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系例1证明2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系例2思路：构造辅助函数证明2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系例3分析：证明2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系EX.思路：构造辅助函数2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系4 拉格朗日(Lagrange)中值定理2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系几何解释:2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系分析弦AB方程为2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系证明 (几何角度)2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系证明 (代数角度)满足罗尔中值定理2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系 注1.罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.注2: Lagrange中值定理的几种形式2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系推论1证明推论22008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系推论3 (导数极限定理)应用：利用导函数的极限来求区间端点或分段点的左右导数！2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系例4证2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系例5 (证明不等式)证由上式得2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系例6证明推论2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系5 柯西中值定理2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系几何解释:证 (几何角度)作辅助函数2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系特别,Lagrange中值公式2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系证 (代数角度)2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系例7分析：结论可变形为2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系小结罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系2 设f(x)在[a, b]上可微，且ab0，求证：(aξb)证明 令∵ a, b同号，故x=0不在(a, b)内;∴?(x),g(x)在(a, b)内可微。∴由柯西中值定理2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系 第4节微分中值定理及其应用1. 函数的极值2. Fermat定理3. Rolle定理4. Lagrange定理5. Cauchy定理6 L’ Hospital法则2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系(或 型)函数的性态微分中值定理导数的性态本节研究:函数之商的极限 转化洛必达法则导数之商的极限洛必达(1661 – 1704)2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系6 洛必达（L’ Hospital）法则2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系定义例如,2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系定理 4. 5(或为)定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理 4.5 仍然成立.2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系证定义辅助函数则有2008年11月12日南京航空航天大学 理学院 数学系定理 4. 6(或为)(洛必达法则) 2008年11月12