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概率论与数理统计 习题及题解 沈志军 盛子宁 第一章 概率论的基本概念 1 ．设事件 A, B 及 A B 的概率分别为 p, q 及 r ，试求 P( AB ), P(AB ), P( A B) 及 P(AB ) 2．若 A, B, C 相互独立，试证明： A , B , C 亦必相互独立。 3．试验 E 为掷 2 颗骰子观察出现的点数。每种结果以 ( x , x ) 记之，其中 x , x 分别表示 1 2 1 2 第一颗、第二颗骰子的点数。设事件 A {( x1 , x2 ) | x1 x2 10} ， 事件 B {( x1 , x2 ) | x1 x2 } 。试求 P(B | A ) 和 P(A | B) 4．某人有 5 把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问： （1 ）恰好第三次 打开房门锁的概率？（ 2 ）三次内打开的概率？（ 3）如果 5 把里有 2 把房门钥匙，则在三 次内打开的概率又是多少？ 5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有 n 个白球、 m 个红球，乙袋中装有 N 个白球、 M 个 红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是 多少？ 6．在时间间隔 5 分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进 入收音机的间隔小于 30 秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？ 7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的， 各自在码头上停留的时间依次是 1 小时和 2 小时。试求一船要等待空出码头的概率？ 8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为 0.92,0.93, 在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为 0.15 。试求下列事件的概率： （1 ）仓库发生 意外时能及时发出警报； （2 ）乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？ 9．设 A, B 为两随机变量，试求解下列问题： （1 ） 已知 P(A) P(B) 1/ 3, P(A | B) 1/ 6 。求： P( A | B ) ； （2 ） 已知 P(A) 1/ 4, P( B | A ) 1/ 3, P(A | B) 1/ 2 。求： P( A B) 。 10．先把长为 l 的木棍折断为两部分， 再把较大的那一部分折断成两部分。 试求所得三 部分能成三角形的概率？ 11．甲、乙、丙三人向同一飞机射击，假设他们的命中率都是 0.4 。又若只有一人命中 时，飞机坠毁的概率为 0.2 ；若恰有二人命中时， 飞机坠毁的概率为 0.6 ；若三人同时命中， 则飞机必然坠毁。试求： （1）飞机坠毁的概率； （2 ）若飞机已经坠毁，则坠毁的飞机是因 为恰有二人命中的概率？ 12．今有９门高射炮独立地向一飞机射击，每门炮能击中飞机的概率为 0.6 。（１）同 时各射一弹，试求飞机被击中的概率； （２）欲以 99 ％以上的把握击中飞机，试问至少要 布置多少门炮同时射击？ 13．某工厂有职工 4745 名， 每名职工生日在一年中某一天的概率为 1/ 365 ，试求下列 事件的概率： （１）恰有４名职工生日在同一天 ( A ) ；