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一、基础过关题
1.(2018北京卷)设函数,若对任意的实数x都成立,则的最小值为______.
【答案】
【解析】解:函数,若对任意的实数x都成立,可得:,,解得,,则的最小值为:.故答案为:.利用已知条件推出函数的最大值,然后列出关系式求解即可.本题考查三角函数的最值的求法与应用,考查转化思想以及计算能力.
2.函数y=cos(eq \f(π,4)-2x)的单调减区间为______________.
【答案】 [kπ+eq \f(π,8),kπ+eq \f(5π,8)](k∈Z)
3.为了得到函数y=cos(2x+eq \f(π,3))的图象,可将函数y=sin 2x的图象( )
A.向左平移eq \f(5π,6)个单位长度
B.向右平移eq \f(5π,6)个单位长度
C.向左平移eq \f(5π,12)个单位长度
D.向右平移eq \f(5π,12)个单位长度
【答案】 C
【解析】 由题意,得y=cos(2x+eq \f(π,3))=sin(2x+eq \f(π,3)+eq \f(π,2))=sin 2(x+eq \f(5π,12)),
则它是由y=sin 2x向左平移eq \f(5π,12)个单位得到的,故选C.学科#网
4.关于函数y=tan(2x-eq \f(π,3)),下列说法正确的是( )
A.是奇函数
B.在区间(0,eq \f(π,3))上单调递减
C.(eq \f(π,6),0)为其图象的一个对称中心
D.最小正周期为π
【答案】 C
5.(2016·潍坊模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx-eq \f(π,6))+1(x∈R)的图象的一条对称轴为x=π,其中ω为常数,且ω∈(1,2),则函数f(x)的最小正周期为( )
A.eq \f(3π,5) B.eq \f(6π,5)
C.eq \f(9π,5) D.eq \f(12π,5)
【答案】 B
【解析】 由函数f(x)=2sin(ωx-eq \f(π,6))+1 (x∈R)的图象的一条对称轴为x=π,可得ωπ-eq \f(π,6)=kπ+eq \f(π,2),k∈Z,
∴ω=k+eq \f(2,3),∴ω=eq \f(5,3),
从而得函数f(x)的最小正周期为eq \f(2π,\f(5,3))=eq \f(6π,5).
6.已知函数f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若f(eq \f(π,8))=-2,则f(x)的一个单调递减区间是( )
A.[-eq \f(π,8),eq \f(3π,8)] B.[eq \f(π,8),eq \f(9π,8)]
C.[-eq \f(3π,8),eq \f(π,8)] D.[eq \f(π,8),eq \f(5π,8)]
【答案】 C
7.(2016·全国丙卷)函数y=sin x-eq \r(3)cos x的图象可由函数y=sin x+eq \r(3)cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到.
【答案】 eq \f(2π,3)
【解析】 y=sin x-eq \r(3)cos x=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,3))),y=sin x+eq \r(3)cos x=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,3))),
因此至少向右平移eq \f(2π,3)个单位长度得到.
8.(2016·太原模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0,|φ|<\f(π,2)))的最小正周期是π,若将f(x)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位后得到的图象关于原点对称,则函数f(x)的图象( )
A.关于直线x=eq \f(π,12)对称 B.关于直线x=eq \f(5π,12)对称
C.关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12),0))对称 D.关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12),0))对称
【答案】 B
【解析】 由题意知eq \f(2π,ω)=π,∴ω=2;
又由f(x)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位后得到y=sin[2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,3)))+φ]=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+φ-\f(2,3)π)),此时关于原点对称,
∴-eq \f(2π,3)+φ=kπ,k∈Z,∴φ=eq \f(2π,3)+kπ,k∈Z,
又|φ|<eq \f(π,2),∴φ=-eq \f(π,3),∴f(
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