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第二十三周 定义新运算 专题简析： 我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2 8，6×2 12 等。都是2和6，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同， 实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一 个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个 对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定 的数与它们对应。 这一周，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、 减、乘、除运算是不相同的。 例1：设a、b 都表示数，规定：a△b 表示a 的3倍减去b 的2 倍，即：a△b a×3－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5。 分析与解答：解这类题的关键是抓住定义的本质。这道题规定的运 算本质是：运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2 倍。 （1）5△6 5×3－6×2 3 （2）6△5 6×3－5×2 8 显然，本例定义的运算不满足交换律，计算中不能将△前后的 数交换。 练 习 一 1，设a、b 都表示数，规定：a○b 6×a－2×b。试计算3○4。 2，设a、b 都表示数，规定：a*b 3×a＋2×b。试计算： （1）（5*6）*7 （2）5* （6*7） 3，有两个整数是A、B，A▽B 表示A 与B 的平均数。已知A ▽6 17，求A。 例2：对于两个数a 与b，规定a⊕b a×b＋a＋b，试计算6⊕2。 分析与解答：这道题规定的运算本质是：用运算符号前后两个数的 积加上这两个数。 6⊕2 6×2＋6＋2 20 练 习 二 1，对于两个数a 与b，规定：a⊕b a×b－ （a＋b）。计算3⊕ 5。 2，对于两个数A 与B，规定：A☆B A×B÷2。试算6☆4。 3，对于两个数a 与b，规定：a⊕b a×b＋a＋b。如果5⊕x 29， 求x。 例3：如果2△3 2＋3＋4，5△4 5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。 分析与解答：这道题规定的运算本质是：从运算符号前的数加起， 每次加的数都比前面的一个数多1，加数的个数为运算符号后面的 数。所以，3△5 3＋4＋5＋6＋7 25 练 习 三 1，如果5▽2 2×6，2▽3 2×3×4，计算：3。 2，如果2▽4 24÷ （2＋4），3▽6 36÷ （3＋6），计算8▽4。 3，如果2△3 2＋3＋4，5△4 5＋6＋7＋8，且1△x 15，求x。 例4：对于两个数a 与b，规定a□b a(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已 知x□6 27，求x。 分析与解答：经仔细分析，可以发现这道题规定运算的本质仍然是： 从运算符号前面的数加起，每次加的数都比它相邻的前一个数多1， 加数的个数为运算符号后面的数，原式即x+(x+1)+(x+2)+… +(x+5) 27，解这个方程，即可求出x 2。 练 习 四 1，如果2□3 2＋3＋4 9，6□5 6＋7＋8＋9＋10 40。已知x □3 5973，求x。 2，对于两个数a 与b，规定a□b a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)， 已知95□x 585，求x。 3，如果1！ 1，2！ 1×2 2，3！ 1×2×3 6，按此规律计算 5！。 例5： 2▽4 8，5▽3 13，3▽5 11，9▽7 25。按此规律计算：。 分析与解答：仔细观察和分析这几个算式，可以发现下面的规律： a▽b 2a+b，依此规律： 7▽3 7×2＋3 17。 练 习 五 1，有一个数学运算符号 “▽”，使下列算式成立：6▽2 12，4 ▽3 13，3▽4 15，5▽1 8。按此规律计算：8▽4。 1 2 3 5 2，有一个数学运算符号“□”使下列算式成立： □