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2004——2011年广东高考试题分类汇编——
解析几何(解答题部分)
1、(2004年22题)
设直线与椭圆相交于两点,又与双曲线相交于C、D两点,三等分线段,求直线的方程.
解:首先讨论l不与x轴垂直时的情况,设直线l的方程为y=kx+b,如图所示,l与椭圆、双曲线的交点为:
依题意有,由
得 ……(1)
由得 ……(2)
若,则与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故
由
或
(i)当时,由(1)得,由(2)得
由,即
故l的方程为
(ii)当b=0时,由(1)得,由(2)得
由即
故l的方程为
再讨论l与x轴垂直的情况.
设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得,
由
即
故的方程为
综上所述,故l的方程为、和
2、(2005年17题)
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图4所示).
(Ⅰ)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;
(Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
解:(I)设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 …(1)
∵OA⊥OB ∴,即,……(2)
又点A,B在抛物线上,有,代入(2)化简得
∴
所以重心为G的轨迹方程为
(II)
由(I)得
当且仅当即时,等号成立。
所以△AOB的面积存在最小值,存在时求最小值1;
3、(2005年20题)
在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2,宽为1,AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合(如图5所示).将矩形折叠,使A点落在线段DC上.
(Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程;
O(A)BC
O
(A)
B
C
D
X
Y
(图5)
解(I) (1)当时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程
(2)当时,将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)
所以A与G关于折痕所在的直线对称,有
故G点坐标为,从而折痕所在的直线与OG的交点坐标(线段OG的中点)为
折痕所在的直线方程,即
由(1)(2)得折痕所在的直线方程为:
(II)折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为
解得; 解得
当A与D重合时,k=-2
(1)当时,直线交BC于
.
(2)当时,
令解得, 此时
∴
(3)当时,直线交DC于
所以折痕的长度的最大值为
4、(2006年18题)
设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、,该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求
( = 1 \* ROMAN I)求点的坐标;
( = 2 \* ROMAN II)求动点的轨迹方程.
解: (Ⅰ)令解得
当时,, 当时, ,当时,
所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,
所以, 点A、B的坐标为.
(Ⅱ) 设,,
,所以,又PQ的中点在上,所以 消去得
5、(2007年文科19题)
在平面直角坐标系中,已知圆心在第二象限,半径为的圆与直线相切于坐标原点,椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为.
(1)求圆的方程;
(2)试探究圆上是否存在异于原点的点,使到椭圆右焦点的距离等于线段的长.若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
解: (1) 设圆C 的圆心为 (m,n)
则 解得
所求的圆的方程为
(2) 由已知可得
椭圆的方程为 , 右焦点为 F( 4,0) ;
假设存在Q点使,
整理得 代入 得:
,
因此不存在符合题意的Q点.
6、(2007年理科18题)
在平面直角坐标系中,已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与直线相切于坐标原点O.椭圆=1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程.
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1) 设圆C 的圆心为
则 解得
所求的圆的方程为
(2) 由已知可得 ,椭圆的方程为 ,右焦点为 .
设存在点满足条件,则解得
故存在符合要求的点.
7、(2008年文科20题)
设,椭圆方程为,抛物线方程为.如图6所示,过点作轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为,已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点.
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点,使得为
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