《随机过程与排队论》知识点复习强烈推荐.ppt

* 计算机科学与工程学院　顾小丰 转移概率函数的性质(续1) 设齐次马氏链{X(t),t?0}的状态有限，E={0,1,2,…, s}，如果存在t0>0，使得对任意i,j?E，都有pij(t0)> 0，则此齐次马氏链{X(t),t?0}为遍历的齐次马氏链。 即 存在且与i无关，并且极限分布{?j,j?E}是唯一的平稳分布： 对固定的i,j，函数pij(t)是t>0的一致连续函数。 满足连续性条件的连续参数齐次马氏链{X(t),t?0}存在下列极限 其中qi表示在时刻t时通过状态i的通过速度(或通过强度)；qij表示时刻t时从状态i转移到状态j的速度(或强度)，qij统称转移速度。 140－* * 计算机科学与工程学院　顾小丰 转移概率函数的性质(续2) 设齐次马氏链{X(t),t?0}，状态空间E={0,1,2,…,s}，其转移速度 设{X(t),t?0}为连续参数齐次马氏链，当qi<+?， ＝qi 时，满足柯尔莫哥洛夫后退微分方程 即 P’(t)＝QP(t) 设{X(t),t?0}为连续参数齐次马氏链,当qi<+?, ＝qri 时，则有柯尔莫哥洛夫前进微分方程 即 P’(t)＝P(t)Q 140－* * 计算机科学与工程学院　顾小丰 转移概率函数的性质(续3) 绝对概率满足（福克-普朗克方程） 齐次不可约连续参数马氏链{X(t),t?0}存在极限分布，即为平稳分布{?j,j?E} 即 ?Q＝0（零向量） 140－* * 计算机科学与工程学院　顾小丰 8、 生灭过程 设{X(t),t?0}是连续参数齐次马氏链，状态 空间E＝{0,1,2,…,N}，如果它的状态转移速度矩 阵为 则称{X(t),t?0}为生灭过程。 140－* * 计算机科学与工程学院　顾小丰 生灭过程的转移概率 上述生灭过程{X(t),t?0}的定义可等价地用 转移概率pij(t)表示为： 140－* * 计算机科学与工程学院　顾小丰 生灭过程满足的柯尔莫哥洛夫方程 柯尔莫哥洛夫后退方程：P’(t)＝QP(t)，P(+0)＝I(单位阵) 柯尔莫哥洛夫前进方程： P’(t)＝P(t)Q，P(+0)＝I 140－* * 计算机科学与工程学院　顾小丰 福克－普朗克方程 绝对概率满足福克－普朗克方程： (1) 推广到无限状态E{0,1,2,…,n,…}为： (2) 140－* * 计算机科学与工程学院　顾小丰 福克－普朗克方程解的存在性 对有限状态E＝{0,1,2,…,N}的生灭过程，若满足pj(t)?0， ，则对任给的初始条件，方程组 (1)的解存在、唯一，而且 对可列无限状态E＝{0,1,2,…,n,…}的生灭过程，若 而且满足pj(t)?0， ，则对任给的初始条件， 方程组(2)的解存在、唯一，且 140－* * 计算机科学与工程学院　顾小丰 极限定理 对有限状态E＝{0,1,2,…,N}的生灭过程，{?j，j=0,1, 2,…,N}存在，与初始条件无关，且 即{?j，j=0,1,…,N}为平稳分布。 对可列无限状态E＝{0,1,2,…,n,…}的生灭过程，若有条件 成立，则{?j，j=0,1,2,…}存在，与初始条件无关，且 令 ?j>0， 及 ，即{?j，j=0,1,…,n,…}为平稳分布。 ?j>0， 140－* * 计算机科学与工程学院　顾小丰 有限状态生灭过程的平稳分布 有限状态E={0,1,2,…,N}的生灭过程{X(t),t?0}是遍历的齐次连续参数马氏链。生灭过程存在极限分布即为平稳分布?＝{?j,j?E}。 ?Q＝0 即 140－* * 计算机科学与工程学院　顾小丰 有限状态生灭过程的平稳分布的解 解得生灭过程{X(t),t?0}，E={0,1,2,…,N}的平稳分布?＝{?j,j?E}为： 当?0＝ ?1＝ … ＝?N-1＝ ?，?1＝ ?2＝ …＝ ?N＝ ?时，有 140－* * 计算机科学与工程学院　顾小丰 无限状态生灭过程的平稳分布 无限状态E={0,1,2,…,}的生灭过程{X(t),t?0}若满足 是遍历的齐次连续参数马氏链。生灭过程存在极限分布即为平稳分布?＝{?j,j?E}。 ?Q＝0 即 及 140－* * 计算机科学与工程学院　顾小丰 无限状态生灭过程的平稳分布的解 解得生灭过程{X(t),t?0}，E={0,1,2,…,}的平稳分布?＝{?j,j?E}为： 特别，当?0＝ ?1 =?2 ＝ …＝ ?，?1＝ ?2＝ ?3＝ …＝ ?时，只要?/?＜1，则{?j,j?E}存在，且有 140－* * 计算机科学与工程学院　顾小丰 等待时间：顾客进入系统的时刻起到开始接受服务止这段时间 逗留时间：顾客在系统