第8章 最优消费投资决策连续时间解析.ppt

? 结论： ? 对于风险证券的最优需求 w * 是线性的，用矩 阵求逆来解出它，得到： ? 最优资产组合决策仍然是独立于消费决策的。 ? 重写一阶条件，有： 为了获得显性解，仍然要假定效用函数采用下面的形式： 无限时间情形 一般情形：伊藤过程 ? 问题的描述：前面一直假定风险资产的价格遵循几何布朗运 动。这也就是说，任意风险资产的瞬间收益率恒为 ? 且方差 为 ? 2 。但是这往往是不现实的，在实际生活中 ? 和 ? 2 常常是 其他外生变量的函数。 ? 一般情形：假定风险资产的价格运动遵循伊藤扩散过程，即 ? 这些定义形式上类似于几何布朗运动的情况， 但关键的差异在于 —— 这里的风险资产的期 望收益和方差是外生的新自变量（向量） S 的函数。而 S 就是在离散时间情况下，所定 义的状态变量。如何决定这些状态变量是一 个经验的问题。 ? 状态变量是全部外生经济风险的体现，它完 全决定了投资者面对的投资机会集合。 ? 尽管直接效用函数 U i [C(t),t] 是状态独立的，间接效用 函数 J[W(t),S(t),t] 现在是状态依存的了。 ? 上式仍然要满足非负消费和非负财富的隐性约束。 用 HJB 方程对 C 和 w 求导，可以得到 n+1 个一阶最优条件： ? （ 2-108 ）式就是代表性理性个人的最优风险资产组合。到此为止，我 们就获得了个人终身最优消费 / 投资决策问题解的最一般形式。 互助基金定理 ? 如何理解该最优资产组合的经济意义呢？可以把（ 2-108 ）式右边分解为两个独立的部分： ? 先考虑第二部分即第二项等于 0 的情形，下列情形可能会导致第二项为 0 。 ? （ 1 ）投资机会集方面。这又有两种情况： ? ① 状态变量 S j, (j=1,2, m) 的变化是非随机的，这样就有 g j =0,(j=0,1,2,m ）； ? ② 在整个投资期间内市场参数 —— 风险资产收益率、方差、协方差和无风 险资产收益率，都独立于状态变量 S(t) ，即 ? ij=0 。 ? 这两种情况下，都会使得 ? =0 ，从而使等（ 2-108 ）式的第二项为 0 ，这被 统称为不变投资机会集（ constant investment opportunity set ）。 ? （ 2 ）效用函数方面。如果投资者引至效用函数 J 中财富的边际效用，即 W J 不依赖于状态变量 S ( t ) ，则这时混合偏导数 J W s =0 ,(s=1,2,m) 。 ? 根据包络条件，这只有当最优消费 C * 不依赖于状态变量 S ( t ) 时才成立。 如果投资者具有对数形式的效用函数，则间接效用函数 J ( W ， S ) 是 W 的 函数和 S 的函数的简单加总，从而使得（ 2-108 ）式中的第二项为 0 。 ? 在以上三种情况下，最优资产组合都可以简化为 ? 这就是上一小节中，假定资产价格遵循几何布朗 运动时，也就是资产价格呈对数正态分布时的结 论。 ? 进一步，令 ? 显然有 1 T w T =1 。 w T 是最小方差曲线上与无风险借 贷线（ no risk borrowing lending line ）相切的切 点资产组合。 ? 通过它可以把（ 2-109 ）式变形为 ? 即投资者的最优资产组合为切点资产组合的 一个固定比例。它说明：如同在单一时期中 按照均方效率原则决策的投资者，连续时间 的投资者也仅仅会投资在两种资产（组合） 上，一种是无风险资产，一种是切点资产组 合。 ? 互助基金定理： ? 定理 2.2.1 （两基金分离或者互助基金） 如果连续 决策的投资者面对不变投资机会集，他们会把财富 在两种资产或者资产组合上做出分配，一种是无风 险借贷，另一种是切点资产组合。 ? 说明：这是马科维茨 - 托宾分离定理的连续时间版本， 但是它不需要倍受争议的二次效用形式和资产收益 呈椭圆分布的假定。因此不变的投资机会集，是保 证连续时间投资者像单一时期按照均方效率原则行 动的风险厌恶投资者一样决策的充要条件。 ? 一般情形：假定上述关于对数效用函数和不 变投资机会集的要求均不成立，则最优资产 组合为 ? 因此 V -1 ? j 确实代表了那些可以对投资机会集变化（ S j 变化）进行对冲（ hedging ） 的资产组合，它本质上是一个逆对经济风险 j S 的最佳保值方案。 ? 投资者持有这些对冲